Encontre o volume do sólido de revolução obtido pela rotação em torno do eixo x de cada região abaixo:
R=(x, y) in R^2 mid 0 <= x <= 2,0 <= y <= x^3.

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido gerado pela rotação da região
R = (x,y)inR^2 mid 0<= x<=2,;0<= y<= x^3
em torno do eixo x. O conteúdo aqui é o método dos discos, em que cada seção transversal perpendicular ao eixo x é um círculo de raio igual a y = x^3.

Passo 2

Pelo método dos discos, o volume V é dado por
V = integrala^b pil[R(x)r]^2,dx
onde R(x) é o raio do disco em cada x. Aqui a=0, b=2 e R(x)=x^3.

Passo 3

Substituindo R(x)=x^3 na fórmula, obtemos
V = integral0^2 pil(x^3r)^2,dx = pi integral0^2 x^6,dx

Passo 4

Calculamos a integral:
integral0^2 x^6,dx = [x^77]0^2 = 2^77 = 1287
Logo,
V = pi cdot 1287 = 128pi7

Resposta

128pi7

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