Encontre o volume do sólido de revolução das regiões abaixo. Esboce a região e o sólido.
y=2 x-x^2, 1^circ quadrante, em torno da reta x=2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar o volume de um sólido de revolução gerado pela região definida pela função $ y = 2x - x^2 $ no primeiro quadrante, quando essa região é girada em torno da reta $ x = 2 $. Para isso, vamos usar o método dos discos ou anéis, que é uma técnica de cálculo para encontrar volumes de sólidos de revolução.

Passo 2

Primeiro, precisamos identificar os limites de integração. Vamos encontrar onde a curva $ y = 2x - x^2 $ intercepta os eixos no primeiro quadrante. Para isso, igualamos $ y $ a zero:
y = 2x - x^2
Então, os limites de integração são de $ x = 0 $ a $ x = 2 $.

Passo 3

Agora, como vamos girar a região em torno da reta $ x = 2 $, precisamos considerar a distância de cada ponto da curva até essa reta. A distância horizontal de um ponto $ x $ até $ x = 2 $ é $ 2 - x $. Usaremos o método dos discos circulares, onde cada disco tem um raio igual a essa distância.

Passo 4

A área de cada disco é dada por $ \pi R^2 $, onde $ R = 2 - x $. Substituindo na fórmula:
pi R^2
Para encontrar o volume total, vamos integrar essa área de $ x = 0 $ a $ x = 2 $.

Passo 5

Portanto, o volume $ V $ é:
V
Vamos resolver essa integral.

Passo 6

Primeiro, expandimos $ (2 - x)^2 $:
(2 - x)^2
Agora, a integral fica:
(2 - x)^2 = 4 - 4x + x^2

Passo 7

Integrando termo a termo:
integral (4 - 4x + x^2) , dx = 4x - 2x^2 + 13x^3
Avaliado de 0 a 2:
V = pi [ (4(2) - 2(2)^2 + 13(2)^3 ) - (4(0) - 2(0)^2 + 13(0)^3 ) ]
Simplificando:
V = pi [ 8 - 8 + 83 ] = pi ( 83 )

Resposta

O volume do sólido de revolução é $ \frac{8}{3} \pi $ unidades cúbicas.

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