Encontre o volume do sólido de revolução das regiões abaixo. Esboce a região e o sólido.
quadrante, em torno da reta
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar o volume de um sólido de revolução gerado pela região definida pela função $ y = 2x - x^2 $ no primeiro quadrante, quando essa região é girada em torno da reta $ x = 2 $. Para isso, vamos usar o método dos discos ou anéis, que é uma técnica de cálculo para encontrar volumes de sólidos de revolução.
Passo 2
Primeiro, precisamos identificar os limites de integração. Vamos encontrar onde a curva $ y = 2x - x^2 $ intercepta os eixos no primeiro quadrante. Para isso, igualamos $ y $ a zero:
Então, os limites de integração são de $ x = 0 $ a $ x = 2 $.
Passo 3
Agora, como vamos girar a região em torno da reta $ x = 2 $, precisamos considerar a distância de cada ponto da curva até essa reta. A distância horizontal de um ponto $ x $ até $ x = 2 $ é $ 2 - x $. Usaremos o método dos discos circulares, onde cada disco tem um raio igual a essa distância.
Passo 4
A área de cada disco é dada por $ \pi R^2 $, onde $ R = 2 - x $. Substituindo na fórmula:
Para encontrar o volume total, vamos integrar essa área de $ x = 0 $ a $ x = 2 $.
Passo 5
Portanto, o volume $ V $ é:
Vamos resolver essa integral.
Passo 6
Primeiro, expandimos $ (2 - x)^2 $:
Agora, a integral fica:
Passo 7
Integrando termo a termo:
Avaliado de 0 a 2:
Simplificando:
Resposta
O volume do sólido de revolução é $ \frac{8}{3} \pi $ unidades cúbicas.