Resolva os PVIs sabendo que são EDOs exatas.
Crie uma EDO exata, com solução pré-determinada por você, e a resolva.
Crie uma EDO exata, com solução pré-determinada por você, e a resolva.
Passo 1
O enunciado nos pede para resolver um problema de valor inicial (PVI) sabendo que se trata de uma EDO exata e, além disso, criar essa EDO exata com solução pré-determinada. O conteúdo é de equações diferenciais exatas: vamos precisar identificar funções
e
, verificar a condição de exatidão
, encontrar a função potencial
e, por fim, usar a condição inicial para determinar a constante de integração.
Passo 2
Vamos criar o seguinte PVI:
Passo 3
Aqui temos
e
. Calculamos as derivadas parciais:
Como
Passo 4
Buscamos uma função potencial
tal que
Passo 5
Integrando em relação a
:
onde
Passo 6
Logo,
e portanto
A função potencial completa é
Passo 7
A condição
dá a solução implícita
Passo 8
Para o PVI, impondo
:
Resposta
A solução particular do PVI é dada pela equação implícita