Resolva os PVIs sabendo que são EDOs exatas.
Crie uma EDO exata, com solução pré-determinada por você, e a resolva.

Passo 1

O enunciado nos pede para resolver um problema de valor inicial (PVI) sabendo que se trata de uma EDO exata e, além disso, criar essa EDO exata com solução pré-determinada. O conteúdo é de equações diferenciais exatas: vamos precisar identificar funções M(x,y) e N(x,y), verificar a condição de exatidão partial Mpartial y=partial Npartial x, encontrar a função potencial Phi(x,y) e, por fim, usar a condição inicial para determinar a constante de integração.

Passo 2

Vamos criar o seguinte PVI:
2xy,dx + (x^2 + 3y^2),dy = 0, y(1)=1

Passo 3

Aqui temos M(x,y)=2xy e N(x,y)=x^2+3y^2. Calculamos as derivadas parciais:
partial Mpartial y=2x, partial Npartial x=2x
Como partial Mpartial y=partial Npartial x=2x, a equação é exata.

Passo 4

Buscamos uma função potencial Phi(x,y) tal que
partial Phipartial x=M(x,y)=2xy

Passo 5

Integrando em relação a x:
Phi(x,y)=integral 2xy,dx = x^2y + h(y),
onde h(y) é uma função só de y. Para determinar h(y), usamos
partial Phipartial y=x^2 + h'(y) stackrel!= N(x,y)=x^2+3y^2

Passo 6

Logo, h'(y)=3y^2 e portanto
h(y)=integral 3y^2,dy = y^3 + C1
A função potencial completa é
Phi(x,y)=x^2y + y^3

Passo 7

A condição Phi(x,y)=constante dá a solução implícita
x^2y + y^3 = C

Passo 8

Para o PVI, impondo y(1)=1:
C = 1^2cdot1 + 1^3 = 2

Resposta

A solução particular do PVI é dada pela equação implícita
x^2y + y^3 = 2

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