Resolva os PVIs sabendo que são EDOs homogêneas.
Crie uma EDO homogênea e a resolva.
Crie uma EDO homogênea e a resolva.
Passo 1
Estamos resolvendo um problema de valor inicial para a EDO homogênea de grau zero dada por dy/dx = (x² + y²)/(x·y), com condição y(1)=1. O conteúdo aqui é ODE homogênea, e vamos usar a substituição v = y/x, que transforma a EDO em uma EDO separável para v(x).
Passo 2
Fazendo a substituição y = v·x, temos dy/dx = v + x·dv/dx. Essa expressão substitui o lado esquerdo da EDO original.
Passo 3
No lado direito, substituímos y = v·x:
Passo 4
Igualamos as duas expressões de dy/dx:
Isolamos o termo com dv/dx:
Passo 5
Agora temos uma EDO separável em v e x:
Integramos ambos os lados:
Passo 6
Voltamos à variável y usando v = y/x:
onde C’ = 2C.
Passo 7
Aplicamos a condição inicial y(1)=1:
Assim
Passo 8
Por fim, extraímos y:
Como y(1)=1>0, escolhemos o sinal positivo da raiz.
Resposta
y(x) = x √(1 + 2 ln|x|)