Resolva os PVIs sabendo que são EDOs homogêneas.
Crie uma EDO homogênea e a resolva.

Passo 1

Estamos resolvendo um problema de valor inicial para a EDO homogênea de grau zero dada por dy/dx = (x² + y²)/(x·y), com condição y(1)=1. O conteúdo aqui é ODE homogênea, e vamos usar a substituição v = y/x, que transforma a EDO em uma EDO separável para v(x).

Passo 2

Fazendo a substituição y = v·x, temos dy/dx = v + x·dv/dx. Essa expressão substitui o lado esquerdo da EDO original.

Passo 3

No lado direito, substituímos y = v·x:
x^2 + y^2x,y = x^2 + (v x)^2x,(v x) = x^2(1 + v^2)v x^2 = 1 + v^2v

Passo 4

Igualamos as duas expressões de dy/dx:
v + xdvdx = 1 + v^2v
Isolamos o termo com dv/dx:
xdvdx = 1 + v^2v - v = 1 + v^2 - v^2v = 1v

Passo 5

Agora temos uma EDO separável em v e x:
vdvdx = 1x Longrightarrow v,dv = dxx
Integramos ambos os lados:
integral v,dv = integral dxx Longrightarrow v^22 = ln|x| + C

Passo 6

Voltamos à variável y usando v = y/x:
12l(yxr)^2 = ln|x| + C Longrightarrow l(yxr)^2 = 2ln|x| + C',
onde C’ = 2C.

Passo 7

Aplicamos a condição inicial y(1)=1:
l(11r)^2 = 2ln|1| + C' implies 1 = 0 + C' implies C' = 1
Assim
l(yxr)^2 = 1 + 2ln|x|

Passo 8

Por fim, extraímos y:
y(x) = xraiz1 + 2ln|x|
Como y(1)=1>0, escolhemos o sinal positivo da raiz.

Resposta

y(x) = x √(1 + 2 ln|x|)

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