Encontre o volume dos sólidos obtidos pela rotação das regiões ao longo do eixo-x:
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Passo 1
A questão pede o volume do sólido gerado pela rotação, em torno do eixo-x, da região limitada pelas curvas y=x^{2} e x=y^{2}. Vamos usar o método das arruelas/discos para sólidos de revolução.
Passo 2
Para encontrar os limites de integração, fazemos y=x^{2} e x=y^{2} ⇒ x=(x{2}){2}=x^{4} ⇒ x(x^{3}−1)=0, logo x=0 ou x=1. Assim, as interseções são (0,0) e (1,1).
Em 0≤x≤1, a curva superior é y=√x (vinda de x=y^{2}) e a inferior é y=x^{2}. Para o método das arruelas, a distância externa ao eixo-x é R(x)=√x e a interna é r(x)=x^{2}.
Em 0≤x≤1, a curva superior é y=√x (vinda de x=y^{2}) e a inferior é y=x^{2}. Para o método das arruelas, a distância externa ao eixo-x é R(x)=√x e a interna é r(x)=x^{2}.
Passo 3
O volume é dado por
Passo 4
Basta calcular a integral: