Encontre o volume dos sólidos obtidos pela rotação das regiões ao longo do eixo-x:
y=x^2, x=y^2.

Passo 1

A questão pede o volume do sólido gerado pela rotação, em torno do eixo-x, da região limitada pelas curvas y=x^{2} e x=y^{2}. Vamos usar o método das arruelas/discos para sólidos de revolução.

Passo 2

Para encontrar os limites de integração, fazemos y=x^{2} e x=y^{2} ⇒ x=(x{2}){2}=x^{4} ⇒ x(x^{3}−1)=0, logo x=0 ou x=1. Assim, as interseções são (0,0) e (1,1).
Em 0≤x≤1, a curva superior é y=√x (vinda de x=y^{2}) e a inferior é y=x^{2}. Para o método das arruelas, a distância externa ao eixo-x é R(x)=√x e a interna é r(x)=x^{2}.

Passo 3

O volume é dado por
V=πintegral0^1l[R(x)^2−r(x)^2r]dx=πintegral0^1l(x−x^4r)dx

Passo 4

Basta calcular a integral:
V=π[x^22−x^55]0^1=πl(tfrac12−tfrac15r)=tfrac3π10

Resposta

tfrac3pi10

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