Use a Transformada de Fourier ^5 para obter a solução do Problema de Valor Inicial e Fronteira abaixo.
ut t-ux x=0, & x in R e t>0 u(x, 0)=g(x), & x in R ut(x, 0)=0, & x in R lim |x| +infty u(x, t)=0, & t>0 lim |x| +infty ux(x, t)=0, & t>0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação da onda utt-uxx=0 em xin R, t>0, com condições iniciais u(x,0)=g(x) e ut(x,0)=0, além de exigir decaimento em |x|toinfty. Vamos usar a Transformada de Fourier em x para reduzir o PDE a uma EDO em t.

Passo 2

Definimos a transformada de Fourier espacial de u como
widehat u(k,t)=integral-infty^+inftyu(x,t)e^-ikx,dx
Aplicando isso na equação utt-uxx=0 e usando que a transformada de uxx é -(k^2)widehat u, obtemos a EDO
partial^2partial t^2widehat u(k,t)+k^2widehat u(k,t)=0
As condições iniciais viram
widehat u(k,0)=widehat g(k), partialpartial twidehat u(k,0)=0

Passo 3

Agora resolvemos a EDO clássica de oscilador harmônico
widehat utt+k^2widehat u=0,
cuja solução geral é
widehat u(k,t)=A(k)cos(kt)+B(k)sin(kt)
Usando as condições iniciais, vemos que A(k)=widehat g(k) e B(k)=0, logo
widehat u(k,t)=widehat g(k)cos(kt)

Passo 4

Finalmente, aplicamos a transformada inversa para voltar a u(x,t):
u(x,t)=12piintegral-infty^+inftywidehat g(k)cos(kt)e^ikx,dk
Usando cos(kt)=tfrac12(e^ikt+e^-ikt) e reconhecendo as transformadas inversas de widehat g(k)e^pm ikt, obtemos
u(x,t)=12l(g(x+t)+g(x-t)r)

Resposta

u(x,t)=g(x+t)+g(x-t)2

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