Encontre o volume dos sólidos obtidos pela rotação das regiões ao longo do eixo-x:
y=e^x, x=0, y=0, x=ln (3).

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido obtido ao rotacionar em torno do eixo-x a região limitada por y=e^x, x=0, y=0 e x=ln3. O conteúdo envolvido é o método dos discos, que usa integrais definidas para volumes de revolução.

Passo 2

O raio do disco, medido perpendicular ao eixo-x, é dado por R(x)=e^x. Como não há furo interno, o volume é dado por:
V = pi integral0^ln 3 l(e^xr)^2 ,dx

Passo 3

Para resolver a integral, note que (e^x)^2 = e^2x. Então calculamos:
integral e^2x ,dx = e^2x2 + C
Substituindo na expressão de V:
V = pi [ e^2x2 ]0^ln 3

Passo 4

Agora avaliamos nos limites:
V = pi ( e^2ln 32 - e^02 ) = pi2 (9 - 1) = 4pi

Resposta

4\pi

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