A resposta deste exercício é (A equação é conhecida como a Equação do Calor, e o problema modela a difusão de calor em uma barra semi-infinita.)
Passo 1
O enunciado pede pra resolver a equação do calor numa barra semi-infinita, isto é
Conteúdo: Equação do Calor unidimensional com condições de contorno em x=0 e x→∞ e condição inicial em t=0.
Vamos usar a Transformada de Laplace em t para passar a PDE para uma ODE em x.
Passo 2
Aplicar a Transformada de Laplace em t (denotando U(x,s)=ℒ{u(x,t)}):
A equação é
ut - c^2 uxx = 0
Lavando em t: sU(x,s) - u(x,0) - c^2 Uxx(x,s) = 0
Como u(x,0)=k_0, obtemos a ODE:
c^2 Uxx(x,s) - sU(x,s) = -k0
Passo 3
Resolver a ODE em x. Escrevendo μ=√s/c, a equação fica
Uxx - μ^2 U = -k0c^2
A solução geral é soma da homogênea e de uma particular constante k_0/s: U(x,s)=k0s + A e^μ x + B e^-μ x
Impondo U finita quando x→∞ faz A=0. A condição em x=0, U(0,s)=ℒ{u(0,t)}=0, dá
0=k0s+BRightarrow B=-k0s
Logo U(x,s)=k0sl(1 - e^-xraizs/cr)
Passo 4
Inverter a Transformada de Laplace usando as tabelas e a identidade dada: