Use a Transformada de Laplace para obter a solução do Problema de Valor Inicial e Fronteira abaixo, onde c>0 e k0>0 são constantes ^6
ut-c^2 ux x=0, & x, t>0 u(x, 0)=k0, & x>0 u(0, t)=0, & t>0 lim x +infty u(x, t)=0, & t>0
Importante: Use que erf(t), onde erf(t)=2raizpi integral0^t e^-tau^2 d tau é a função erro, dada por
^3

  1. f(x) para |f(x)| seccionalmente contínua com R integrável em ut t-ux x=0.
    4 (A equação ^5 é conhecida como a Equação da Onda, e o problema modela a vibração de uma corda semi-infinita.)
    (a) Ff(x-a)=e^-j a omega f(omega)
    (b) u(x, t)=(1 / 2)(f(x+t)+f(x-t))
    ^6 Use que:
    © ut-c^2 ux x=0
    (d)
    (Teorema do deslocamento real)
    (e)
    A resposta deste exercício é
    (A equação é conhecida como a Equação do Calor, e o problema modela a difusão de calor em uma barra semi-infinita.)

Passo 1

O enunciado pede pra resolver a equação do calor numa barra semi-infinita, isto é
Conteúdo: Equação do Calor unidimensional com condições de contorno em x=0 e x→∞ e condição inicial em t=0.
Vamos usar a Transformada de Laplace em t para passar a PDE para uma ODE em x.

Passo 2

Aplicar a Transformada de Laplace em t (denotando U(x,s)=ℒ{u(x,t)}):
A equação é
ut - c^2 uxx = 0
Lavando em t:
sU(x,s) - u(x,0) - c^2 Uxx(x,s) = 0
Como u(x,0)=k_0, obtemos a ODE:
c^2 Uxx(x,s) - sU(x,s) = -k0

Passo 3

Resolver a ODE em x. Escrevendo μ=√s/c, a equação fica
Uxx - μ^2 U = -k0c^2
A solução geral é soma da homogênea e de uma particular constante k_0/s:
U(x,s)=k0s + A e^μ x + B e^-μ x
Impondo U finita quando x→∞ faz A=0. A condição em x=0, U(0,s)=ℒ{u(0,t)}=0, dá
0=k0s+BRightarrow B=-k0s
Logo
U(x,s)=k0sl(1 - e^-xraizs/cr)

Passo 4

Inverter a Transformada de Laplace usando as tabelas e a identidade dada:
ℒ^-1tfrac1s=1, ℒ^-1tfrace^-araizss=1-erfl(tfraca2raiztr)
Aqui a= x/c, então
$$u(x,t)=k_0\Bigl[1 - \bigl(1-\mathrm{erf}(\tfrac{x}{2c\sqrt{t}})\bigr)\Bigr]
=k_0,\mathrm{erf}\Bigl(\frac{x}{2c\sqrt{t}}\Bigr).$$

Resposta

u(x,t)=k_{0},\mathrm{erf}\bigl(\tfrac{x}{2c\sqrt{t}}\bigr)

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