Esboce o gráfico de uma função f: I subset R R para a qual:
f(0)=f^prime(0)=0, f^prime(-1)=-1, f^prime(1)=3, e f^prime(2)=1.

Passo 1

Neste exercício, queremos esboçar o gráfico de uma função f definida em um intervalo de R de modo que f(0)=0, f'(0)=0, f'(-1)=-1, f'(1)=3 e f'(2)=1. O conteúdo é a relação entre derivada e inclinação da reta tangente, e vamos usar isso para orientar o formato do gráfico.

Passo 2

Para interpretar o papel da derivada, lembramos que f'(x) indica a inclinação da reta tangente a f em x. Assim, um valor negativo de f' significa que f é decrescente nessa região, valor zero indica ponto crítico horizontal, e valor positivo indica crescimento.

Passo 3

No ponto x=-1, temos f'(-1)=-1. Isso significa que a reta tangente nesse ponto tem inclinação -1, ou seja, o gráfico de f está decrescendo com ângulo de aproximadamente -45^circ.

Passo 4

No ponto x=0, temos f(0)=0 e f'(0)=0. Logo, o gráfico passa em (0,0) e a reta tangente é horizontal, indicando um ponto crítico onde a função muda de decrescente para crescente (pode ser um mínimo local ou ponto de sela).

Passo 5

No ponto x=1, f'(1)=3. A reta tangente tem inclinação íngreme, de 3, indicando que f cresce de forma rápida após 0.

Passo 6

No ponto x=2, f'(2)=1. A reta tangente ainda é positiva, com inclinação moderada de 1, então f continua crescendo, mas mais suavemente do que em x=1.

Passo 7

Unindo essas informações, esboçamos um gráfico que desce até perto de x=-1, passa por um ponto crítico horizontal em (0,0) e depois sobe rapidamente até x=1 (com inclinação 3) e continua subindo mais suavemente até x=2 (com inclinação 1). Conectamos tudo com curvas suaves que respeitam essas inclinações.

Resposta

Um esboço qualitativo com:
  • Eixo horizontal marcado em -1,0,1,2 e eixo vertical.
  • No ponto (-1,f(-1)) uma reta tangente decrescente com inclinação -1.
  • No ponto (0,0) reta tangente horizontal.
  • No ponto (1,f(1)) reta tangente crescente íngreme com inclinação 3.
  • No ponto (2,f(2)) reta tangente crescente moderada com inclinação 1.
    A curva deve descer até x=-1, se nivelar em 0 e então subir rapidamente até 1 e de forma mais suave até 2.

Exercícios relacionados