Esboce o gráfico de uma função
para a qual:
, e
.
Passo 1
Neste exercício, queremos esboçar o gráfico de uma função
definida em um intervalo de
de modo que
,
,
,
e
. O conteúdo é a relação entre derivada e inclinação da reta tangente, e vamos usar isso para orientar o formato do gráfico.
Passo 2
Para interpretar o papel da derivada, lembramos que
indica a inclinação da reta tangente a
em
. Assim, um valor negativo de
significa que
é decrescente nessa região, valor zero indica ponto crítico horizontal, e valor positivo indica crescimento.
Passo 3
No ponto
, temos
. Isso significa que a reta tangente nesse ponto tem inclinação
, ou seja, o gráfico de
está decrescendo com ângulo de aproximadamente
.
Passo 4
No ponto
, temos
e
. Logo, o gráfico passa em
e a reta tangente é horizontal, indicando um ponto crítico onde a função muda de decrescente para crescente (pode ser um mínimo local ou ponto de sela).
Passo 5
No ponto
,
. A reta tangente tem inclinação íngreme, de
, indicando que
cresce de forma rápida após
.
Passo 6
No ponto
,
. A reta tangente ainda é positiva, com inclinação moderada de
, então
continua crescendo, mas mais suavemente do que em
.
Passo 7
Unindo essas informações, esboçamos um gráfico que desce até perto de
, passa por um ponto crítico horizontal em
e depois sobe rapidamente até
(com inclinação 3) e continua subindo mais suavemente até
(com inclinação 1). Conectamos tudo com curvas suaves que respeitam essas inclinações.
Resposta
Um esboço qualitativo com:
- Eixo horizontal marcado em
e eixo vertical. - No ponto
uma reta tangente decrescente com inclinação . - No ponto
reta tangente horizontal. - No ponto
reta tangente crescente íngreme com inclinação . - No ponto
reta tangente crescente moderada com inclinação .
A curva deve descer até, se nivelar em e então subir rapidamente até e de forma mais suave até .