Encontre o volume dos sólidos obtidos pela rotação das regiões ao longo do eixo-x:
y=e^x, x=0, x=1, y=0.

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido obtido ao girar em torno do eixo-x a região limitada por y=e^x, pelas retas x=0, x=1 e pela reta y=0. O conteúdo envolve cálculo de volumes por método dos discos, e vamos precisar usar a fórmula V=piintegrala^b [R(x)]^2,dx, onde R(x) é a distância da curva ao eixo de rotação.

Passo 2

Para aplicar o método dos discos, notamos que para cada xin[0,1] o raio do disco é R(x)=e^x. Assim, o volume vale
V=piintegral0^1l(e^xr)^2,dx =piintegral0^1e^2x,dx

Passo 3

Agora calculamos a integral. A primitiva de e^2x em relação a x é
integral e^2x,dx=12e^2x+C
Então temos
V=pigl[12e^2xgr]0^1

Passo 4

Substituindo os limites de 0 a 1, obtemos:
V=pi(12e^2-12e^0) =pi2l(e^2-1r)

Resposta

V=pi2(e^2-1)

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