Escreva a Desigualdade Triangular e utilize-a para provar que
|a-b| >=|a|-|b| .

Passo 1

O enunciado pede para escrever a desigualdade triangular e usá-la para demonstrar que |a-b| >= |a| - |b|. O conteúdo é valor absoluto e a desigualdade triangular, e vamos precisar do seu enunciado e de manipulações algébricas simples.

Passo 2

A desigualdade triangular para quaisquer números reais x e y afirma:
|x+y| <= |x| + |y|
Essa desigualdade expressa que o valor absoluto da soma não excede a soma dos valores absolutos.

Passo 3

Agora escolhemos x = a - b e y = b. Substituindo na desigualdade triangular, obtemos:
|(a - b) + b| <= |a - b| + |b|
Mas (a - b) + b = a, logo:
|a| <= |a - b| + |b|

Passo 4

Para isolar |a - b|, subtraímos |b| de ambos os lados. Como |b|>=0, a desigualdade mantém a direção:
|a| - |b| <= |a - b|
Isso é exatamente |a - b| >= |a| - |b|, que era o que queríamos provar.

Resposta

|a-b| >= |a| - |b|

Exercícios relacionados