Esboce o gráfico da funções abaixo.
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Passo 1
O enunciado pede para esboçar o gráfico da função de duas variáveis f(x,y)=9−x+9y. Isso cai no tema superfícies em R³: cada par (x,y) é levado a um ponto (x,y,z) com z=f(x,y). Vamos usar noções de plano, forma geral da equação e interceptos.
Passo 2
A superfície dada é definida por z=9−x+9y. Como a função é linear em x e y, o gráfico é um plano. Para identificar a orientação desse plano, escrevemos a equação em forma geral:
Dessa forma, o vetor normal ao plano é n=(1,−9,1), que aponta para a direção perpendicular à superfície.
Passo 3
Para esboçar o plano, é útil encontrar onde ele intercepta os eixos coordenados. Basta anular dois dos três valores (x,y,z) e resolver para o terceiro:
- Intercepto em z (x=0,y=0):
, ponto (0,0,9). - Intercepto em x (y=0,z=0):
⇒x=9, ponto (9,0,0). - Intercepto em y (x=0,z=0):
⇒9y=−9⇒y=−1, ponto (0,−1,0).
Passo 4
Agora, para o esboço: desenhe os eixos x, y, z em perspectiva. Marque os pontos (9,0,0), (0,−1,0) e (0,0,9) nesses eixos. Em seguida, ligue esses três pontos formando um triângulo; essa face já dá a ideia do plano. Por fim, estenda essa superfície triangular para cobrir toda a região desejada.
Resposta
O gráfico é o plano em R³ definido por z=9−x+9y, que intercepta os eixos nos pontos (9,0,0), (0,−1,0) e (0,0,9). Para esboçá-lo, basta traçar esses interceptos e passar o plano que os contém.