encontre o wronskiano de duas soluções para a equação diferencial dada sem resolver a equação.
, equação de Legendre
Passo 1
O enunciado dá a equação
e pede: encontrar o Wronskiano de duas soluções quaisquer dessa equação, sem resolver a equação explicitamente.
Informações importantes fornecidas:
- A equação é linear, homogênea e de segunda ordem.
- Há um parâmetro
(constante). - O coeficiente de
é , que se anula em ; portanto a equação tem pontos singulares em e a manipulação de divisão por só é válida para . - O que se quer é o Wronskiano
de duas soluções e , isto é, .
Passo 2
Vamos usar uma ferramenta geral (Abel) que permite achar o Wronskiano sem resolver a equação. Primeiro, defino o que é o Wronskiano e mostro a identidade que ele satisfaz.
Definição do Wronskiano: para duas soluções
e
de uma equação linear de segunda ordem, o Wronskiano é
Agora a ideia-chave (demonstração curta da identidade de Abel):
- Considere a equação na forma padrão
onde
e
são funções contínuas num intervalo. Tomando
e
soluções, computa-se a derivada de
:
Os termos
cancelam, ficando
Usando que
(pois
satisfaz a equação padrão), substitui-se e obtém-se
Portanto
satisfaz a equação diferencial primeiro-ordem
Resolvendo essa equação (variáveis separáveis) dá a fórmula de Abel:
onde
é constante (determineda pela condição inicial
em algum ponto
).
Observação didática: aqui
é o coeficiente de
depois que a ODE é escrita na forma padrão
. A beleza disso é que não precisamos conhecer as soluções, só
.
Passo 3
Aplicar a identidade ao nosso caso. Primeiro colocamos a equação dada na forma padrão, dividindo por
(válido para
):
Daí identificamos
Passo 4
Agora usamos Abel:
. Substituímos
e calculamos o integral passo a passo:
Calcular
Para integrar
faço a substituição simples
, então
. Assim
Portanto
Tomando a exponencial e absorvendo a constante na constante multiplicativa
, obtemos
onde
é uma constante (dependente da escolha das duas soluções; se forem independentes então
). Note que a presença de
no log foi absorvida em
, já que
pode ter sinal ajustado; a expressão é válida para intervalos onde
não muda de sinal.
Explicação prática: para qualquer par de soluções linearmente independentes
da equação dada, o produto
é constante em
. Isso é útil para checar independência ou para fixar
se conhecemos o Wronskiano em algum ponto.
Passo 5
Comentário final e incentivo: pronto — sem resolver a equação, usando apenas a forma padrão e a identidade de Abel, chegamos ao Wronskiano. Se quiser, posso mostrar como determinar a constante
para um par específico de soluções (por exemplo as soluções padrões
e
quando apropriado), ou dar um exercício curto para praticar.
Resposta
onde
é constante (determineda pelo par específico de soluções).