encontre o wronskiano de duas soluções para a equação diferencial dada sem resolver a equação.
\left(1-x^{2}\right) y^{\prime \prime}-2 x y^{\prime}+\alpha(\alpha+1) y=0, equação de Legendre

Passo 1

O enunciado dá a equação
(1-x^{2})\,y''-2x\,y'+\alpha(\alpha+1)\,y=0
e pede: encontrar o Wronskiano de duas soluções quaisquer dessa equação, sem resolver a equação explicitamente.
Informações importantes fornecidas:
  • A equação é linear, homogênea e de segunda ordem.
  • Há um parâmetro \alpha (constante).
  • O coeficiente de y'' é 1-x^{2}, que se anula em x=\pm1; portanto a equação tem pontos singulares em x=\pm1 e a manipulação de divisão por 1-x^{2} só é válida para x\neq\pm1.
  • O que se quer é o Wronskiano W(x) de duas soluções y_{1}(x) e y_{2}(x), isto é, W(x)=y_{1}y_{2}'-y_{1}'y_{2}.

Passo 2

Vamos usar uma ferramenta geral (Abel) que permite achar o Wronskiano sem resolver a equação. Primeiro, defino o que é o Wronskiano e mostro a identidade que ele satisfaz.
Definição do Wronskiano: para duas soluções y_{1} e y_{2} de uma equação linear de segunda ordem, o Wronskiano é
W(x)=y_{1}(x)\,y_{2}'(x)-y_{1}'(x)\,y_{2}(x).
Agora a ideia-chave (demonstração curta da identidade de Abel):
  • Considere a equação na forma padrão
y''+P(x)\,y'+Q(x)\,y=0,
onde P e Q são funções contínuas num intervalo. Tomando y_{1} e y_{2} soluções, computa-se a derivada de W:
W'(x)=y_{1}'y_{2}'+y_{1}y_{2}''-y_{1}''y_{2}-y_{1}'y_{2}'.
Os termos y_{1}'y_{2}' cancelam, ficando
W'(x)=y_{1}y_{2}''-y_{1}''y_{2}.
Usando que y_{i}''=-P\,y_{i}'-Q\,y_{i} (pois y_{i} satisfaz a equação padrão), substitui-se e obtém-se
W'(x)=-P(x)\bigl(y_{1}y_{2}'-y_{1}'y_{2}\bigr) = -P(x)\,W(x).
Portanto W satisfaz a equação diferencial primeiro-ordem
W'(x)=-P(x)\,W(x).
Resolvendo essa equação (variáveis separáveis) dá a fórmula de Abel:
W(x)=C\exp\!\Bigl(-\int^{x} P(t)\,dt\Bigr),
onde C é constante (determineda pela condição inicial W(x_{0}) em algum ponto x_{0}).
Observação didática: aqui P(x) é o coeficiente de y' depois que a ODE é escrita na forma padrão y''+P\,y'+Q\,y=0. A beleza disso é que não precisamos conhecer as soluções, só P(x).

Passo 3

Aplicar a identidade ao nosso caso. Primeiro colocamos a equação dada na forma padrão, dividindo por 1-x^{2} (válido para x\neq\pm1):
y''-\frac{2x}{1-x^{2}}\,y'+\frac{\alpha(\alpha+1)}{1-x^{2}}\,y=0.
Daí identificamos
P(x)=-\frac{2x}{1-x^{2}}.

Passo 4

Agora usamos Abel: W(x)=C\exp\!\bigl(-\int P(x)\,dx\bigr). Substituímos P(x) e calculamos o integral passo a passo:
Calcular \displaystyle -\int P(x)\,dx = -\int \Bigl(-\frac{2x}{1-x^{2}}\Bigr)\,dx = \int \frac{2x}{1-x^{2}}\,dx.
Para integrar \displaystyle \int \frac{2x}{1-x^{2}}\,dx faço a substituição simples \,u=1-x^{2}, então \,du=-2x\,dx. Assim
\int \frac{2x}{1-x^{2}}\,dx = \int \frac{-du}{u} = -\ln|u| + \text{const} = -\ln|1-x^{2}| + \text{const}.
Portanto
-\int P(x)\,dx = -\ln|1-x^{2}| + \text{const}.
Tomando a exponencial e absorvendo a constante na constante multiplicativa C, obtemos
W(x)=\frac{C}{1-x^{2}},
onde C é uma constante (dependente da escolha das duas soluções; se forem independentes então C\neq0). Note que a presença de |\cdot| no log foi absorvida em C, já que C pode ter sinal ajustado; a expressão é válida para intervalos onde 1-x^{2} não muda de sinal.
Explicação prática: para qualquer par de soluções linearmente independentes y_{1},y_{2} da equação dada, o produto (1-x^{2})W(x) é constante em x. Isso é útil para checar independência ou para fixar C se conhecemos o Wronskiano em algum ponto.

Passo 5

Comentário final e incentivo: pronto — sem resolver a equação, usando apenas a forma padrão e a identidade de Abel, chegamos ao Wronskiano. Se quiser, posso mostrar como determinar a constante C para um par específico de soluções (por exemplo as soluções padrões P_{\alpha} e Q_{\alpha} quando apropriado), ou dar um exercício curto para praticar.

Resposta

W(x)=\frac{C}{1-x^{2}},
onde C é constante (determineda pelo par específico de soluções).

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