Nos problemas de 1 a 8. determine se o par de funçòes dadas é linearmente independente ou linearmente dependente.
Passo 1
O enunciado dá as duas funções
e pede para determinar se o par
é linearmente independente ou linearmente dependente. Vou assumir o domínio natural das funções como sendo todos os reais, isto é
, salvo indicação em contrário.
Passo 2
Definição prática (do jeito que vai funcionar na prova): as funções
e
são linearmente dependentes em um domínio
se existem constantes
, não ambas nulas, tais que
Se a única solução para essa igualdade for
, dizemos que
e
são linearmente independentes em
.
Passo 3
Estratégia para este par: escrever a combinação linear
e estudar as implicações para
. Como
tem expressão diferente para
e
, vamos separar esses casos (e também verificar
).
Passo 4
Caso
: tem-se
. A condição vira
Como isso deve valer para todos os
, o coeficiente deve ser zero:
Passo 5
Caso
: tem-se
. A condição vira
Novamente, como vale para todos os
, o coeficiente deve ser zero:
Passo 6
Agora resolvemos o sistema obtido nos dois casos:
Somando as duas equações vem
, logo
. Substituindo em
obtemos
. Portanto a única solução é
.]
Passo 7
Conclusão para o domínio
: como a única combinação linear que anula as duas funções para todo
é a combinação trivial, as funções são linearmente independentes em
.
Passo 8
Observação útil para a prova (não altera a resposta final, mas ajuda a entender): se o domínio for restrito a
então
e
, logo nesse domínio as funções são linearmente dependentes (ex.:
para todo
). De modo similar, em
tem-se
e também dependência linear. A independência aparece quando o domínio inclui pontos positivos e negativos simultaneamente, como
.
Resposta
Linearmente independente