Nos problemas de 1 a 8. determine se o par de funçòes dadas é linearmente independente ou linearmente dependente.
f(t)=3 t . g(t)=|t|

Passo 1

O enunciado dá as duas funções
f(t)=3t,\qquad g(t)=|t|
e pede para determinar se o par (f,g) é linearmente independente ou linearmente dependente. Vou assumir o domínio natural das funções como sendo todos os reais, isto é t\in\mathbb{R}, salvo indicação em contrário.

Passo 2

Definição prática (do jeito que vai funcionar na prova): as funções f e g são linearmente dependentes em um domínio D se existem constantes c_1,c_2, não ambas nulas, tais que
c_1 f(t) + c_2 g(t)=0\quad\text{para todo } t\in D.
Se a única solução para essa igualdade for c_1=c_2=0, dizemos que f e g são linearmente independentes em D.

Passo 3

Estratégia para este par: escrever a combinação linear
c_1\cdot 3t + c_2\cdot |t| = 0\quad\text{para todo } t\in\mathbb{R},
e estudar as implicações para c_1,c_2. Como |t| tem expressão diferente para t>0 e t<0, vamos separar esses casos (e também verificar t=0).

Passo 4

Caso t>0: tem-se |t|=t. A condição vira
3c_1 t + c_2 t = (3c_1 + c_2)\,t = 0 \quad\text{para todo } t>0.
Como isso deve valer para todos os t>0, o coeficiente deve ser zero:
3c_1 + c_2 = 0.

Passo 5

Caso t<0: tem-se |t|=-t. A condição vira
3c_1 t + c_2(-t) = (3c_1 - c_2)\,t = 0 \quad\text{para todo } t<0.
Novamente, como vale para todos os t<0, o coeficiente deve ser zero:
3c_1 - c_2 = 0.

Passo 6

Agora resolvemos o sistema obtido nos dois casos:
\begin{cases} 3c_1 + c_2 = 0,\\[4pt] 3c_1 - c_2 = 0. \end{cases}
Somando as duas equações vem 6c_1=0, logo c_1=0. Substituindo em 3c_1+c_2=0 obtemos c_2=0. Portanto a única solução é c_1=c_2=0.]

Passo 7

Conclusão para o domínio \mathbb{R}: como a única combinação linear que anula as duas funções para todo t\in\mathbb{R} é a combinação trivial, as funções são linearmente independentes em \mathbb{R}.

Passo 8

Observação útil para a prova (não altera a resposta final, mas ajuda a entender): se o domínio for restrito a [0,\infty) então |t|=t e g(t)=t=\dfrac{1}{3}f(t), logo nesse domínio as funções são linearmente dependentes (ex.: f(t)-3g(t)=0 para todo t\ge0). De modo similar, em (-\infty,0] tem-se |t|=-t e também dependência linear. A independência aparece quando o domínio inclui pontos positivos e negativos simultaneamente, como \mathbb{R}.

Resposta

Linearmente independente

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