Nos problemas de 1 a 8. determine se o par de funçòes dadas é linearmente independente ou linearmente dependente. f(t)=t^{2}+5 t . g(t)=t^{2}-5 t
Passo 1
O enunciado fornece o par de funções
f(t)=t^{2}+5t,\qquad g(t)=t^{2}-5t,
e pede para determinar se esse par é linearmente dependente ou linearmente independente.
Informações relevantes dadas:
Ambas são polinômios em t (coeficientes reais).
Não foram dadas restrições explícitas sobre o domínio; portanto considere o espaço dos polinômios (ou funções reais) onde se pergunta sobre dependência linear.
Passo 2
Definição e ideia que vou usar (explicando passo a passo):
Duas funções f e g são linearmente dependentes se existem escalares a,b, não ambos nulos, tais que a combinação linear
a f(t)+b g(t)=0
vale para todo t (ou seja, é a função identicamente zero). Caso contrário, são linearmente independentes.
No caso de apenas duas funções, uma forma prática é verificar se existe um escalar c tal que
f(t)=c\,g(t)
para todo t. Se existir tal c (o mesmo para todos os t), então são dependentes; se não existir, são independentes. Vou usar essa verificação porque f e g são polinômios — igualar coeficientes é direto.
Passo 3
Como f e g são polinômios, escrever a igualdade f(t)=c\,g(t) e comparar coeficientes de potências de t é válido: se dois polinômios são iguais para todo t, então os coeficientes de t^2, t e termo constante coincidem.
Suponha que exista c\in\mathbb{R} com
t^{2}+5t = c\,(t^{2}-5t)
para todo t. Vou igualar os coeficientes de t^2 e de t.
Passo 4
Igualando coeficientes de t^2:
1 = c\cdot 1 \quad\Rightarrow\quad c=1.
Agora igualando coeficientes de t:
5 = c\cdot (-5).
Substituindo c=1 obtido acima dá
5 = -5,
o que é uma contradição. Portanto não existe um único escalar c que satisfaça f(t)=c\,g(t) para todo t.
Passo 5
Explicação alternativa via representação por coeficientes (visão de álgebra linear, mastigada):
Representar os polinômios no espaço gerado por \{t^{2},t,1\}. Os vetores de coeficientes são
Dois vetores são múltiplos escalares um do outro se e somente se as razões entre componentes correspondentes são iguais. Aqui a razão entre as primeiras componentes é 1/1=1, enquanto entre as segundas é 5/(-5)=-1. Como 1\neq -1, os vetores não são múltiplos, logo os polinômios não são múltiplos escalares entre si.
Passo 6
Verificação pelo determinante de uma matriz 2×2 formada pelos coeficientes de t^2 e t (uma forma rápida):
Um determinante não nulo indica que as duas colunas (ou linhas) são linearmente independentes como vetores em \mathbb{R}^2, o que confirma que não há combinação linear não trivial que cancele as duas funções simultaneamente.]
Passo 7
Verificação adicional (Wronskiano) e comentário pedagógico:
Como W(t) não é a função identicamente nula (é 10t^{2}), isso reforça que as funções não são linearmente dependentes em qualquer intervalo onde o Wronskiano não seja zero. Observação: W(0)=0 mas isso não implica dependência global — o resultado principal já veio das comparações de coeficientes.]