Nos problemas de 1 a 8. determine se o par de funçòes dadas é linearmente independente ou linearmente dependente.
f(t)=t^{2}+5 t . g(t)=t^{2}-5 t

Passo 1

O enunciado fornece o par de funções
f(t)=t^{2}+5t,\qquad g(t)=t^{2}-5t,
e pede para determinar se esse par é linearmente dependente ou linearmente independente.
Informações relevantes dadas:
  • Ambas são polinômios em t (coeficientes reais).
  • Não foram dadas restrições explícitas sobre o domínio; portanto considere o espaço dos polinômios (ou funções reais) onde se pergunta sobre dependência linear.

Passo 2

Definição e ideia que vou usar (explicando passo a passo):
  • Duas funções f e g são linearmente dependentes se existem escalares a,b, não ambos nulos, tais que a combinação linear
a f(t)+b g(t)=0
vale para todo t (ou seja, é a função identicamente zero). Caso contrário, são linearmente independentes.
  • No caso de apenas duas funções, uma forma prática é verificar se existe um escalar c tal que
f(t)=c\,g(t)
para todo t. Se existir tal c (o mesmo para todos os t), então são dependentes; se não existir, são independentes. Vou usar essa verificação porque f e g são polinômios — igualar coeficientes é direto.

Passo 3

Como f e g são polinômios, escrever a igualdade f(t)=c\,g(t) e comparar coeficientes de potências de t é válido: se dois polinômios são iguais para todo t, então os coeficientes de t^2, t e termo constante coincidem.
Suponha que exista c\in\mathbb{R} com
t^{2}+5t = c\,(t^{2}-5t)
para todo t. Vou igualar os coeficientes de t^2 e de t.

Passo 4

Igualando coeficientes de t^2:
1 = c\cdot 1 \quad\Rightarrow\quad c=1.
Agora igualando coeficientes de t:
5 = c\cdot (-5).
Substituindo c=1 obtido acima dá
5 = -5,
o que é uma contradição. Portanto não existe um único escalar c que satisfaça f(t)=c\,g(t) para todo t.

Passo 5

Explicação alternativa via representação por coeficientes (visão de álgebra linear, mastigada):
  • Representar os polinômios no espaço gerado por \{t^{2},t,1\}. Os vetores de coeficientes são
\mathbf{v}_f = \begin{pmatrix}1\\\ 5\\\ 0\end{pmatrix},\qquad \mathbf{v}_g = \begin{pmatrix}1\\\ -5\\\ 0\end{pmatrix}.
  • Dois vetores são múltiplos escalares um do outro se e somente se as razões entre componentes correspondentes são iguais. Aqui a razão entre as primeiras componentes é 1/1=1, enquanto entre as segundas é 5/(-5)=-1. Como 1\neq -1, os vetores não são múltiplos, logo os polinômios não são múltiplos escalares entre si.

Passo 6

Verificação pelo determinante de uma matriz 2×2 formada pelos coeficientes de t^2 e t (uma forma rápida):
\begin{vmatrix}1 & 1\\[4pt] 5 & -5\end{vmatrix} = (1)(-5)-(1)(5) = -5-5 = -10 \neq 0.
Um determinante não nulo indica que as duas colunas (ou linhas) são linearmente independentes como vetores em \mathbb{R}^2, o que confirma que não há combinação linear não trivial que cancele as duas funções simultaneamente.]

Passo 7

Verificação adicional (Wronskiano) e comentário pedagógico:
  • Calcular derivadas:
f'(t)=2t+5,\qquad g'(t)=2t-5.
  • Wronskiano
W(t)=\begin{vmatrix}f(t) & g(t)\\[4pt] f'(t) & g'(t)\end{vmatrix} = f(t)g'(t)-f'(t)g(t).
  • Computando:
f(t)g'(t)=(t^{2}+5t)(2t-5)=2t^{3}+5t^{2}-25t,
f'(t)g(t)=(2t+5)(t^{2}-5t)=2t^{3}-5t^{2}-25t,
W(t)=\bigl(2t^{3}+5t^{2}-25t\bigr)-\bigl(2t^{3}-5t^{2}-25t\bigr)=10t^{2}.
Como W(t) não é a função identicamente nula (é 10t^{2}), isso reforça que as funções não são linearmente dependentes em qualquer intervalo onde o Wronskiano não seja zero. Observação: W(0)=0 mas isso não implica dependência global — o resultado principal já veio das comparações de coeficientes.]

Resposta

Linearmente independentes.

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