a) O Wronskiano de duas funções y1, y2 é W(y1, y2)(x)=x sen^2(x). As funções são linearmente independentes ou linearmente dependentes? Por quê? (Resp. L.I.)
b) O Wronskiano de duas funções y1, y2 é W(y1, y2)(x)=x^2-4. As funções são linearmente independentes ou linearmente dependentes? Por quê?

Passo 1

A questão quer saber se duas funções são linearmente independentes ou dependentes a partir do seu Wronskiano, que é uma ferramenta da teoria de EDOs para testar independência linear.

Passo 2

O teorema que vamos usar é: se o Wronskiano de duas funções não é identicamente zero num intervalo (ou é diferente de zero em algum ponto), então elas são linearmente independentes. Se o Wronskiano for identicamente zero em todo o intervalo, então são linearmente dependentes.

Passo 3

No item (a), o Wronskiano é W(x)=xsin^2(x). Essa função não é identicamente zero — ela só anula em pontos isolados ( x=0,pi,2pi,dots), mas não em todo um intervalo. Portanto, pelo teorema, as funções são linearmente independentes.

Passo 4

No item (b), o Wronskiano é W(x)=x^2-4. Esse polinômio também não é identicamente zero — anula somente em x=2 e x=-2, pontos isolados. Logo, novamente pelo teorema, as funções são linearmente independentes.

Resposta

a) L.I. porque o Wronskiano não é identicamente zero (anula só em pontos isolados).
b) L.I. porque o Wronskiano não é identicamente zero (anula só em x=pm2).

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