a) O Wronskiano de duas funções
é
. As funções são linearmente independentes ou linearmente dependentes? Por quê? (Resp. L.I.)
b) O Wronskiano de duas funções
é
. As funções são linearmente independentes ou linearmente dependentes? Por quê?
b) O Wronskiano de duas funções
Passo 1
A questão quer saber se duas funções são linearmente independentes ou dependentes a partir do seu Wronskiano, que é uma ferramenta da teoria de EDOs para testar independência linear.
Passo 2
O teorema que vamos usar é: se o Wronskiano de duas funções não é identicamente zero num intervalo (ou é diferente de zero em algum ponto), então elas são linearmente independentes. Se o Wronskiano for identicamente zero em todo o intervalo, então são linearmente dependentes.
Passo 3
No item (a), o Wronskiano é
. Essa função não é identicamente zero — ela só anula em pontos isolados (
), mas não em todo um intervalo. Portanto, pelo teorema, as funções são linearmente independentes.
Passo 4
No item (b), o Wronskiano é
. Esse polinômio também não é identicamente zero — anula somente em
e
, pontos isolados. Logo, novamente pelo teorema, as funções são linearmente independentes.
Resposta
a) L.I. porque o Wronskiano não é identicamente zero (anula só em pontos isolados).
b) L.I. porque o Wronskiano não é identicamente zero (anula só em ).
b) L.I. porque o Wronskiano não é identicamente zero (anula só em