Use as propriedades de continuidade para determinar o conjunto de pontos em que cada uma das seguintes funções é contínua. Justifique suas respostas.
A função g definida por g(x, y)=\frac{\sin (x)}{1+e^{y}}
Passo 1
O enunciado pede: determinar o conjunto de pontos em que a função g é contínua e justificar. A função dada é
g(x,y)=\frac{\sin(x)}{1+e^{y}}.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
A expressão do numerador é \sin(x).
A expressão do denominador é 1+e^{y}.
Não há restrição explícita no enunciado sobre x ou y.
Passo 2
Vamos listar propriedades básicas de continuidade que vamos usar (explicadas de forma direta):
Uma função real simples é contínua em todo ponto se seu valor e seu limite coincidem naquele ponto. Para nós, basta conhecer que funções elementares como \sin(t) e e^{t} são contínuas para todo t\in\mathbb{R}. (Isto é um fato padrão: \sin e e^{t} têm limites iguais aos valores em qualquer ponto.)
Se f e h são funções contínuas em um ponto, então f+h e f\cdot h são contínuas nesse ponto.
Se f e h são contínuas em um ponto e h não se anula nesse ponto (isto é, h tem valor diferente de zero), então \dfrac{f}{h} é contínua nesse ponto.
Vou usar essas propriedades porque tornam a justificativa direta: mostramos continuidade do numerador e do denominador, garantimos que o denominador não é zero, e então a razão é contínua.
Passo 3
Verificar continuidade das partes:
A função x\mapsto\sin(x) é contínua para todo x\in\mathbb{R}. Isso significa: para qualquer x_0, \sin(x)\to\sin(x_0) quando x\to x_0.
A função y\mapsto e^{y} é contínua para todo y\in\mathbb{R}. Portanto y\mapsto 1+e^{y} também é contínua para todo y\in\mathbb{R}, pois somar a constante 1 preserva continuidade.
Passo 4
Mostrar que o denominador nunca se anula (isso é crucial para usar a propriedade da razão):
Para todo y\in\mathbb{R} tem-se e^{y}>0. Logo
1+e^{y}>1>0.
Portanto, 1+e^{y}\neq 0 para todo y. Conclusão: o denominador é sempre diferente de zero em todo (x,y)\in\mathbb{R}^2.
Passo 5
Aplicar a propriedade do quociente: como \sin(x) é contínua em x para todo x, e 1+e^{y} é contínua em y para todo y, e além disso 1+e^{y} nunca é zero, a função
g(x,y)=\frac{\sin(x)}{1+e^{y}}
é contínua em todo ponto (x,y) do plano. Aqui usamos que a composição produto/razão de funções contínuas (com denominador não nulo) é contínua.
Passo 6
(Se você quiser ver uma verificação direta do tipo epsilon-delta — que é um argumento técnico útil num exame — segue uma forma curta e explícita de ver que g é contínua em qualquer ponto (x_0,y_0).)
Calcule a diferença
Como já vimos, (1+e^{y})(1+e^{y_0})\ge 1, então o denominador está uniformemente limitado abaixo por 1. Sabendo que \sin e e^{y} são contínuas, tanto |\sin(x)-\sin(x_0)| quanto |e^{y}-e^{y_0}| vão a zero quando (x,y)\to(x_0,y_0). Assim a diferença total vai a zero, o que mostra continuidade em (x_0,y_0). Como (x_0,y_0) foi arbitrário, a função é contínua em todo o plano.