Encontre o Wronskiano do par de funções
l y1(t)=e^t sen t y2(t)=e^t cos t

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos encontrar o Wronskiano de duas funções:
y1(t)=e^t sin t e y2(t)=e^t cos t
O Wronskiano é uma ferramenta usada na análise de soluções de equações diferenciais para verificar se um conjunto de funções é linearmente independente. Para resolver isso, vamos precisar calcular as derivadas das funções e usar a fórmula do Wronskiano.

Passo 2

Vamos lembrar como calcular o Wronskiano de duas funções. A fórmula é:
W(y1, y2)(t) = y1(t) & y2(t) y1'(t) & y2'(t) = y1(t) cdot y2'(t) - y2(t) cdot y1'(t)
Ou seja, precisamos das derivadas de $ y_{1}(t) $ e $ y_{2}(t) $.

Passo 3

Vamos calcular a derivada de $ y_{1}(t) = e^{t} \sin t $. Usamos a regra do produto:
y1(t) = e^t sin t

Passo 4

Agora, calculamos a derivada de $ y_{2}(t) = e^{t} \cos t $, também usando a regra do produto:
y2(t) = e^t cos t

Passo 5

Com as derivadas encontradas, substituímos na fórmula do Wronskiano:
W(y1, y2)(t) = y1(t) cdot y2'(t) - y2(t) cdot y1'(t)
Substituindo:
W = e^t sin t cdot (e^t cos t - e^t sin t) - e^t cos t cdot (e^t sin t + e^t cos t)

Passo 6

Vamos simplificar a expressão:
W = e^2t sin t cos t - e^2t sin^2 t - e^2t sin t cos t - e^2t cos^2 t
Observamos que os termos $ e^{2t} \sin t \cos t $ se cancelam:
e^2t sin t cos t

Passo 7

Sabemos que $ \sin^{2} t + \cos^{2} t = 1 $ pela identidade trigonométrica. Então:
sin^2 t + cos^2 t = 1

Resposta

O Wronskiano das funções dadas é $ W(y_{1}, y_{2})(t) = -e^{2t} $.

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