Encontre o Wronskiano do par de funções
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos encontrar o Wronskiano de duas funções:
O Wronskiano é uma ferramenta usada na análise de soluções de equações diferenciais para verificar se um conjunto de funções é linearmente independente. Para resolver isso, vamos precisar calcular as derivadas das funções e usar a fórmula do Wronskiano.
Passo 2
Vamos lembrar como calcular o Wronskiano de duas funções. A fórmula é:
Ou seja, precisamos das derivadas de $ y_{1}(t) $ e $ y_{2}(t) $.
Passo 3
Vamos calcular a derivada de $ y_{1}(t) = e^{t} \sin t $. Usamos a regra do produto:
Passo 4
Agora, calculamos a derivada de $ y_{2}(t) = e^{t} \cos t $, também usando a regra do produto:
Passo 5
Com as derivadas encontradas, substituímos na fórmula do Wronskiano:
Substituindo:
Passo 6
Vamos simplificar a expressão:
Observamos que os termos $ e^{2t} \sin t \cos t $ se cancelam:
Passo 7
Sabemos que $ \sin^{2} t + \cos^{2} t = 1 $ pela identidade trigonométrica. Então:
Resposta
O Wronskiano das funções dadas é $ W(y_{1}, y_{2})(t) = -e^{2t} $.