Identifique as funções f1(x) e f2(x) tais que f(x)=f2(f1(x)) e encontre a derivada de f.
(b) f(x)=(1-x^2)^10

Passo 1

O enunciado pede para a gente reescrever a função f(x) usando a composição de duas funções f₁ e f₂ e depois aplicar a regra da cadeia para encontrar f '(x). O conteúdo principal aqui é a regra da cadeia, junto com derivadas de funções polinomiais.

Passo 2

Para expressar f(x)=(1−x²)¹⁰ como composição, escolhemos f₁(x) como a parte interna e f₂(u) como a potência. Ou seja, definimos
f₁(x)=1−x²
f₂(u)=u¹⁰

Passo 3

Lembrando da regra da cadeia: se f(x)=f₂(f₁(x)), então
f ‘(x)=f₂’(f₁(x))·f₁’(x).

Passo 4

Agora calculamos as derivadas de cada uma:
Derivada de f₁:
f₁’(x)=d/dx(1−x²)=−2x
Derivada de f₂:
f₂’(u)=d/du(u¹⁰)=10u⁹

Passo 5

Substituindo na regra da cadeia:
f ‘(x)=f₂’(f₁(x))·f₁’(x)=10(1−x²)⁹·(−2x)

Resposta

As funções são f₁(x)=1−x² e f₂(u)=u¹⁰. A derivada é
f '(x)=−20x(1−x²)⁹.

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