Identifique as funções
e
tais que
e encontre a derivada de
.
(b)
(b)
Passo 1
O enunciado pede para a gente reescrever a função f(x) usando a composição de duas funções f₁ e f₂ e depois aplicar a regra da cadeia para encontrar f '(x). O conteúdo principal aqui é a regra da cadeia, junto com derivadas de funções polinomiais.
Passo 2
Para expressar f(x)=(1−x²)¹⁰ como composição, escolhemos f₁(x) como a parte interna e f₂(u) como a potência. Ou seja, definimos
f₁(x)=1−x²
f₂(u)=u¹⁰
f₁(x)=1−x²
f₂(u)=u¹⁰
Passo 3
Lembrando da regra da cadeia: se f(x)=f₂(f₁(x)), então
f ‘(x)=f₂’(f₁(x))·f₁’(x).
f ‘(x)=f₂’(f₁(x))·f₁’(x).
Passo 4
Agora calculamos as derivadas de cada uma:
Derivada de f₁:
f₁’(x)=d/dx(1−x²)=−2x
Derivada de f₂:
f₂’(u)=d/du(u¹⁰)=10u⁹
Derivada de f₁:
f₁’(x)=d/dx(1−x²)=−2x
Derivada de f₂:
f₂’(u)=d/du(u¹⁰)=10u⁹
Passo 5
Substituindo na regra da cadeia:
f ‘(x)=f₂’(f₁(x))·f₁’(x)=10(1−x²)⁹·(−2x)
f ‘(x)=f₂’(f₁(x))·f₁’(x)=10(1−x²)⁹·(−2x)
Resposta
As funções são f₁(x)=1−x² e f₂(u)=u¹⁰. A derivada é
f '(x)=−20x(1−x²)⁹.