O rádio 226 tem a meia-vida de 1620 anos. Achar o intervalo de tempo durante o qual uma amostra deste nuclídeo se reduz a três quartos da sua massa original.
obs: integral d uraiz1-u^2=arcsin (u)

Passo 1

A questão dá o rádio 226 com meia‐vida de 1620 anos e pede o tempo para que uma amostra fique com 3/4 da massa original. O conteúdo aqui é decaimento radioativo e vamos precisar da lei do decaimento exponencial e da relação entre a constante de decaimento λ e a meia‐vida.

Passo 2

Na teoria do decaimento exponencial, a massa no instante t é dada por
m(t)=m0 e^-lambda t
e a constante lambda se relaciona com a meia‐vida T1/2 por
lambda=ln 2T1/2
Como temos T1/2=1620 anos, usaremos esse valor para lambda.

Passo 3

Para achar o tempo em que a massa fica em 3/4 de m0, igualamos
m(t)m0=e^-lambda t=34

Passo 4

Tomando logaritmo natural dos dois lados,
[-\lambda t=\ln\frac{3}{4}\quad\Longrightarrow\quad t=-\frac{1}{\lambda}\ln\frac{3}{4}=\frac{1}{\lambda}\ln\frac{4}{3}.
Substituindo lambda=ln 21620, temos
t=1620ln 2ln43

Passo 5

Agora basta calcular numericamente:
tapprox16200.6931times0.2877approx672,3anos.

Passo 6

Portanto, leva cerca de 672 anos para a massa chegar a 3/4 da original.

Resposta

t=1620ln 2ln43approx672 anos

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