Encontre o Wronskiano do par de funções
l y1(t)=e^-t sen t y2(t)=e^-t cos t
Escolha uma opção:
-e^2 t

Passo 1

O enunciado pede para encontrar o Wronskiano do par de funções y1(t)=e^-tsin t e y2(t)=e^-tcos t. O conteúdo aqui é a definição do Wronskiano, que exige as derivadas das duas funções e a aplicação da fórmula W=y1y2' - y2y1'.

Passo 2

Vamos calcular a derivada de y1(t)=e^-tsin t. Usando a regra do produto e a derivada de e^-t, temos:
y1'(t)=l(e^-tr)'sin t + e^-t(sin t)' = -e^-tsin t + e^-tcos t = e^-t(cos t - sin t)

Passo 3

Agora calculamos a derivada de y2(t)=e^-tcos t do mesmo jeito:
y2'(t)=l(e^-tr)'cos t + e^-t(cos t)' = -e^-tcos t - e^-tsin t = -e^-t(cos t + sin t)

Passo 4

Aplicando a definição do Wronskiano:
W = y1y2' - y2y1' = e^-tsin t l(-e^-t(cos t+sin t)r) - e^-tcos t l(e^-t(cos t-sin t)r)

Passo 5

Fatorando -e^-2t e usando sin^2t+cos^2t=1, obtemos:
W = -e^-2tl(sin tcos t + sin^2t + cos^2t - sin tcos tr) = -e^-2t(1) = -e^-2t

Resposta

-e^{-2t}

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