Encontre o Wronskiano do par de funções
Escolha uma opção:
Nenhuma das demais alternativas
Nenhuma das demais alternativas
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Precisamos encontrar o Wronskiano de um par de funções dadas:
O Wronskiano é uma ferramenta importante em cálculo para verificar a linearidade de funções. Para resolvê-lo, vamos precisar das derivadas das funções $ y_1(t) $ e $ y_2(t) $.
Passo 2
Vamos começar calculando as derivadas de $ y_1(t) $ e $ y_2(t) $.
Para $ y_{1}(t)=e^{-t} \sin t $, usamos a regra do produto para derivar:
Sabendo que $ \frac{d}{dt}\left(e^{-t}\right) = -e^{-t} $ e $ \frac{d}{dt}\left(\sin t\right) = \cos t $, temos:
Agora, para $ y_{2}(t)=e^{-t} \cos t $:
Sabendo que $ \frac{d}{dt}\left(\cos t\right) = -\sin t $, temos:
Passo 3
Agora que temos as derivadas, vamos aplicar a fórmula do Wronskiano:
Substituindo os valores que encontramos:
Passo 4
Vamos simplificar a expressão:
Multiplicando os termos:
Observa que os termos $ -e^{-2t} \sin t \cos t $ e $ e^{-2t} \sin t \cos t $ se cancelam:
Fatorando $ -e^{-2t} $:
Sabemos que $ \sin^2 t + \cos^2 t = 1 $, então:
Resposta
A opção correta é $ -e^{2 t} $. Porém, observando o sinal, a resposta correta é $ -e^{-2 t} $, que não está listada. Portanto, a resposta é:
Nenhuma das demais alternativas