Encontre o Wronskiano do par de funções
l y1(t)=e^-t sen t y2(t)=e^-t cos t
Escolha uma opção:
Nenhuma das demais alternativas
(tg t) e^t
-e^2 t
e^t
(cos t) e^t
sen t+cos t

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Precisamos encontrar o Wronskiano de um par de funções dadas:
l y1(t)=e^-t sin t y2(t)=e^-t cos t
O Wronskiano é uma ferramenta importante em cálculo para verificar a linearidade de funções. Para resolvê-lo, vamos precisar das derivadas das funções $ y_1(t) $ e $ y_2(t) $.

Passo 2

Vamos começar calculando as derivadas de $ y_1(t) $ e $ y_2(t) $.
Para $ y_{1}(t)=e^{-t} \sin t $, usamos a regra do produto para derivar:
y1(t)
Sabendo que $ \frac{d}{dt}\left(e^{-t}\right) = -e^{-t} $ e $ \frac{d}{dt}\left(\sin t\right) = \cos t $, temos:
y2(t)
Agora, para $ y_{2}(t)=e^{-t} \cos t $:
y1(t)=e^-t sin t
Sabendo que $ \frac{d}{dt}\left(\cos t\right) = -\sin t $, temos:
y1'(t) = ddt(e^-t) cdot sin t + e^-t cdot ddt(sin t)

Passo 3

Agora que temos as derivadas, vamos aplicar a fórmula do Wronskiano:
W(y1, y2)(t) = y1(t) cdot y2'(t) - y2(t) cdot y1'(t)
Substituindo os valores que encontramos:
W(y1, y2)(t) = e^-t sin t cdot (-e^-t cos t - e^-t sin t) - e^-t cos t cdot (-e^-t sin t + e^-t cos t)

Passo 4

Vamos simplificar a expressão:
W = e^-t sin t (-e^-t cos t - e^-t sin t) - e^-t cos t (-e^-t sin t + e^-t cos t)
Multiplicando os termos:
W = -e^-2t sin t cos t - e^-2t sin^2 t + e^-2t sin t cos t - e^-2t cos^2 t
Observa que os termos $ -e^{-2t} \sin t \cos t $ e $ e^{-2t} \sin t \cos t $ se cancelam:
-e^-2t sin t cos t
Fatorando $ -e^{-2t} $:
e^-2t sin t cos t
Sabemos que $ \sin^2 t + \cos^2 t = 1 $, então:
W = - e^-2t sin^2 t - e^-2t cos^2 t

Resposta

A opção correta é $ -e^{2 t} $. Porém, observando o sinal, a resposta correta é $ -e^{-2 t} $, que não está listada. Portanto, a resposta é:
Nenhuma das demais alternativas

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