Mostre que todo conjunto aberto pode ser escrito como a união de intervalos abertos. Mostre com cálculos
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, em ℝ, qualquer conjunto aberto U pode ser escrito como união de intervalos abertos. Vamos usar o conceito de conjunto aberto em análise real: para cada ponto x em U existe um raio ε>0 tal que o intervalo (x−ε,x+ε) está contido em U.
Passo 2
Seja U⊂ℝ aberto. Então, por definição, para cada x∈U existe ε_x>0 tal que
Esse intervalo é aberto e contém x.
Passo 3
Agora considere a união de todos esses intervalos:
Passo 4
Vamos provar duas inclusões:
- Se y∈U então, escolhendo ε_y, temos y∈(y-ε_y,y+ε_y)⊂V. Logo U⊂V.
- Se z∈V então existe x∈U tal que z∈(x-ε_x,x+ε_x)⊂U. Logo z∈U e V⊂U.
Passo 5
Como U⊂V e V⊂U, conclui-se que U=V, isto é, U é união de intervalos abertos.