Obter a solução da Equação Diferencial do Calor
k partial^2 u(x, t)partial x^2=partial u(x, t)partial t , k>0,00
ll u(0, t)=0 & u(pi, t)=0 u(x, 0)=x &

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação do calor unidimensional
kpartial^2 u(x,t)partial x^2=partial u(x,t)partial t, k>0,;00
com condições de contorno homogêneas u(0,t)=0, u(pi,t)=0 e condição inicial u(x,0)=x. Vamos usar separação de variáveis e expansão em série de Fourier do tipo senos.

Passo 2

Supondo solução da forma u(x,t)=X(x),T(t), substituímos na EDP e separamos variáveis:
kX''(x)T(t)=X(x)T'(t)impliesX''(x)X(x)=-lambda,T'(t)kT(t)=-lambda
Isso gera duas EDOs:
X''+lambda X=0, X(0)=X(pi)=0;
T'+lambda k,T=0

Passo 3

As condições de contorno homogêneas levam a autovalores lambdan=n^2 e autovetores Xn(x)=sin(nx), n=1,2,dots. A solução temporal correspondente é Tn(t)=e^-k n^2 t. Assim, por superposição,
u(x,t)=sumn=1^infty Ansin(nx),e^-k n^2 t

Passo 4

Para determinar os coeficientes An, usamos u(x,0)=x, ou seja
$$x=\sum_{n=1}^\infty A_n\sin(nx).
x=sumn=1^infty Ansin(nx) ãA_n=\frac{2}{\pi}\int_0^\pi x\sin(nx),dx.$$
Fazendo integração por partes:
An=2piintegral0^pi xsin(nx),dx
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integral0^pi xsin(nx),dx=-xcos(nx)n|0^pi+1nintegral0^picos(nx),dx=-pi(-1)^nn

Passo 5

Substituindo An na série, obtemos a solução final:
u(x,t)=sumn=1^infty 2(-1)^n+1nsin(nx),e^-k n^2 t

Resposta

u(x,t)=sumn=1^infty 2(-1)^n+1nsin(nx),e^-k n^2 t

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