A série de Fourier de uma função f(x) em um intervalo simétrico -L é fornecida por:
f(x)=a02+sumn=1^infty[an cos (n piL x)+bn sen(n piL x)]
onde a0=1L integral-L^L f(x) d x , an=1L integral-L^L f(x) cos (n piL x) d x e bn=1L integral-L^L f(x) sen(n piL x) d x obter os coeficientes da série de Fourier para as funções fornecidas abaixo:
f(x)=lll1 & para & -pi

Passo 1

A função é dada em [-\pi,\pi] com L=pi: de -\pi a 0 temos f(x)=1 e de 0 a \pi temos f(x)=-1. Queremos os coeficientes a0, an e bn segundo as fórmulas de série de Fourier num intervalo simétrico.

Passo 2

Observando a paridade de f: para todo x>0 temos f(-x)=1=-f(x), então f(-x)=-f(x), ou seja, f é função ímpar. Em funções ímpares numa expansão em [-L,L] vale a0=0 e an=0. Logo só há termos-seno.

Passo 3

Calculamos bn=tfrac1piintegral-pi^pif(x)sin(nx),dx. Dividindo em dois trechos:
integral-pi^0 1sin(nx),dx=-cos(nx)n|-pi^0=-1+(-1)^nn,
integral0^pi(-1)sin(nx),dx=--cos(nx)n|0^pi=1-(-1)^nn

Passo 4

Somando, obtemos
bn=1pil(-1+(-1)^nn+-(1-(-1)^n)nr)=2((-1)^n-1)npi

Passo 5

Para n par vale (-1)^n=1 e bn=0. Para n ímpar vale (-1)^n=-1 e bn=-4/(npi).

Resposta

a0=0, an=0,forall n, bn=-tfrac4npi,&n ímpar,0,&n parí
f(x)=-4pisumk=0^infty12k+1sinl((2k+1)xr)

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