Encontre o Wronskiano dos seguintes pares de funções:
1-cos ^2 t,-sen^2 t

Passo 1

O enunciado pede para calcular o Wronskiano do par de funções f1(t)=1-cos^2t e f2(t)=-sin^2t. O conteúdo é sobre o determinante de duas funções e suas derivadas, e vamos usar a definição de Wronskiano para ver se elas são linearmente dependentes.

Passo 2

Primeiro, note que 1-cos^2t=sin^2t, então podemos reescrever as funções como
f1(t)=sin^2t, f2(t)=-sin^2t

Passo 3

Agora calculamos as derivadas:
f1'(t)=ddt(sin^2t)=2sin tcos t=sin(2t),
f2'(t)=ddt(-sin^2t)=-2sin tcos t=-sin(2t)

Passo 4

Aplicamos a definição do Wronskiano para duas funções:
$$W(f_1,f_2)(t)= W(f1,f2)(t)=f1(t)&f2(t)f1'(t)&f2'(t)=f1(t)f2'(t)-f2(t)f1'(t) =f_1(t)f_2’(t)-f_2(t)f_1’(t).
$$

Passo 5

Substituindo os valores encontrados:
W=sin^2tcdot(-sin(2t)) - (-sin^2t)cdotsin(2t) =-sin^2t,sin(2t)+sin^2t,sin(2t)=0

Resposta

O Wronskiano é zero para todo t:
W(f1,f2)(t)=0

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