Encontre o Wronskiano dos seguintes pares de funções:
Passo 1
O enunciado pede para calcular o Wronskiano do par de funções e^{3t} e t e^{3t}. O conteúdo é o conceito de Wronskiano de duas funções, que se define como o determinante de uma matriz 2×2 formada pelas funções e suas derivadas. Para resolver, vamos precisar saber derivar exponenciais e aplicar a definição de determinante.
Passo 2
Vamos calcular as derivadas das funções. Se definirmos f_1(t)=e^{3t} e f_2(t)=t e^{3t}, então: f_1’(t)=3 e^{3t} (pela regra da cadeia) e, aplicando produto em f_2, temos f_2’(t)=1·e^{3t}+t·3 e^{3t}=(1+3t) e^{3t}.
Passo 3
Agora montamos o Wronskiano pela fórmula W(t)=det
. Em bloco:
Expandindo o determinante:
Passo 4
Na expressão acima, os termos com 3t e^{6t} se cancelam, sobrando apenas W(t)=e^{6t}.