Encontre o Wronskiano dos seguintes pares de funções:
e^3 t, t e^3 t

Passo 1

O enunciado pede para calcular o Wronskiano do par de funções e^{3t} e t e^{3t}. O conteúdo é o conceito de Wronskiano de duas funções, que se define como o determinante de uma matriz 2×2 formada pelas funções e suas derivadas. Para resolver, vamos precisar saber derivar exponenciais e aplicar a definição de determinante.

Passo 2

Vamos calcular as derivadas das funções. Se definirmos f_1(t)=e^{3t} e f_2(t)=t e^{3t}, então: f_1’(t)=3 e^{3t} (pela regra da cadeia) e, aplicando produto em f_2, temos f_2’(t)=1·e^{3t}+t·3 e^{3t}=(1+3t) e^{3t}.

Passo 3

Agora montamos o Wronskiano pela fórmula W(t)=det f1 & f2 f1' & f2'. Em bloco:
W(t)=e^3t & te^3t 3e^3t & (1+3t)e^3t
Expandindo o determinante:
W(t)=e^3t·(1+3t)e^3t - te^3t·3e^3t=e^6t+3te^6t-3te^6t

Passo 4

Na expressão acima, os termos com 3t e^{6t} se cancelam, sobrando apenas W(t)=e^{6t}.

Resposta

e^6t

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