Use o método de variação de parâmetros para encontrar a solução geral das seguintes EDOs lineares não homogêneas com coeficientes constantes. (As questões marcadas com (!) são mais desafiantes).
y^prime prime(t)-5 y^prime(t)+6 y(t)=2 e^t

Passo 1

Enunciado resumido: queremos resolver a equação diferencial não homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes
y''(t)-5y'(t)+6y(t)=2e^t
Conteúdo: EDOs lineares, método de variação de parâmetros. Vamos precisar da solução geral da homogênea, do wronskiano e das fórmulas de variação de parâmetros.

Passo 2

Primeiro, achamos a solução da parte homogênea. A equação característica é
r^2-5r+6=0
Resolvendo, obtemos as raízes r=2 e r=3. Logo, a solução homogênea é
yh(t)=C1e^2t+C2e^3t

Passo 3

Para aplicar variação de parâmetros, assumimos uma solução particular da forma
yp(t)=u1(t)e^2t+u2(t)e^3t,
essendo u1 e u2 funções a determinar. Impondo as condições
u1'(t)e^2t+u2'(t)e^3t=0,
2u1'(t)e^2t+3u2'(t)e^3t=2e^t,
usamos o wronskiano das soluções fundamentais e^2t,e^3t:
W(t)=e^2t&e^3t2e^2t&3e^3t=e^5t(3-2)=e^5t

Passo 4

Calculamos u1' e u2' pelas fórmulas de variação de parâmetros:
u1'(t)=-y2(t),R(t)W(t)=-e^3tcdot2e^te^5t=-2e^-t,
u2'(t)=y1(t),R(t)W(t)=e^2tcdot2e^te^5t=2e^-2t
Integramos:
u1(t)=integral(-2e^-t),dt=2e^-t,
u2(t)=integral2e^-2t,dt=-e^-2t

Passo 5

Montamos a solução particular:
yp(t)=u1(t)e^2t+u2(t)e^3t=2e^-te^2t-e^-2te^3t=2e^t-e^t=e^t
Assim, a solução geral da EDO é a soma de yh e yp.

Resposta

A solução geral é y(t)=C1e^2t+C2e^3t+e^t.

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