Beleza, vamos resolver esse exercício de convolução entre duas funções no tempo. A gente vai precisar entender a definição de convolução e como aplicar isso passo a passo. As funções que a gente vai convoluir são e , que é uma função definida por partes.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é convolução. A convolução de duas funções (x1 * x2)(t) = integral-infty^infty x1(tau) cdot x2(t - tau) , dtau e é definida pela integral:
Isso basicamente combina as duas funções de uma maneira específica para produzir uma terceira função.
Passo 3
Agora, vamos substituir as expressões de (x1 * x2)(t) = integral-infty^infty [2 u(tau + 2) - 2 u(tau - 2)] cdot x2(t - tau) , dtau e na fórmula da convolução:
Passo 4
Vamos simplificar essa integral. Sabemos que (x1 * x2)(t) = integral-2^2 2 cdot x2(t - tau) - 2 cdot x2(t - tau) , dtau é a função degrau que ativa em e ativa em . Isso significa que a função é não nula apenas no intervalo . Portanto, podemos limitar os limites da integral de a :
Passo 5
Agora, precisamos considerar a definição de . Sabemos que é igual a quando e zero caso contrário. Então, será não nulo apenas quando está entre e , ou seja, está entre e .
Mas como nossa integral já está entre e , precisamos encontrar a interseção desses intervalos para determinar os limites efetivos da integração:
Dependendo do valor de , os limites da integral podem variar. Vamos considerar diferentes casos para :
Quando : A interseção dos intervalos resulta em indo de a .
Quando : A interseção ainda é de a .
Quando : A interseção é novamente de a .
Portanto, para todos os valores de dentro do intervalo onde é não nulo, a integral permanece de a .