Encontre x1(t) * x2(t), onde
x1(t)=2 u(t+2)-2 u(t-2)
e
x2(t)= 0, & t<-4 e^-|t|, & -4 <= t <= 4 0, & t>4

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de convolução entre duas funções no tempo. A gente vai precisar entender a definição de convolução e como aplicar isso passo a passo. As funções que a gente vai convoluir são e , que é uma função definida por partes.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é convolução. A convolução de duas funções (x1 * x2)(t) = integral-infty^infty x1(tau) cdot x2(t - tau) , dtau e é definida pela integral:
Isso basicamente combina as duas funções de uma maneira específica para produzir uma terceira função.

Passo 3

Agora, vamos substituir as expressões de (x1 * x2)(t) = integral-infty^infty [2 u(tau + 2) - 2 u(tau - 2)] cdot x2(t - tau) , dtau e na fórmula da convolução:

Passo 4

Vamos simplificar essa integral. Sabemos que (x1 * x2)(t) = integral-2^2 2 cdot x2(t - tau) - 2 cdot x2(t - tau) , dtau é a função degrau que ativa em e ativa em . Isso significa que a função é não nula apenas no intervalo . Portanto, podemos limitar os limites da integral de a :

Passo 5

Agora, precisamos considerar a definição de . Sabemos que é igual a quando e zero caso contrário. Então, será não nulo apenas quando está entre e , ou seja, está entre e .
Mas como nossa integral já está entre e , precisamos encontrar a interseção desses intervalos para determinar os limites efetivos da integração:
Dependendo do valor de , os limites da integral podem variar. Vamos considerar diferentes casos para :
  1. Quando : A interseção dos intervalos resulta em indo de a .
  2. Quando : A interseção ainda é de a .
  3. Quando : A interseção é novamente de a .
Portanto, para todos os valores de dentro do intervalo onde é não nulo, a integral permanece de a .

Passo 6

Vamos calcular a integral:
(x1 * x2)(t) = 2 integral-2^2 e^-|t - tau| , dtau - 2 integral-2^2 e^-|t - tau| , dtau
Observamos que as duas integrais são iguais e com sinais opostos, então elas se cancelam:
(x1 * x2)(t) = 0

Resposta

A convolução é igual a zero para todos os valores de .

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