Projete um compensador para dar uma margem de ganho de pelo menos 8 dB e margem de fase de pelo menos
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me pediu para projetar um compensador que garanta uma margem de ganho de pelo menos 8 dB e uma margem de fase de pelo menos 30 graus. Isso faz parte do estudo de controle de sistemas, onde usamos ferramentas como o Diagrama de Bode para analisar e melhorar a estabilidade de um sistema.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender o que são margem de ganho e margem de fase:
- Margem de Ganho: É a quantidade de ganho que o sistema pode aumentar antes de se tornar instável. Queremos que seja pelo menos 8 dB.
- Margem de Fase: É o quanto a fase pode mudar antes do sistema entrar em oscilação. Queremos que seja pelo menos 30 graus.
Passo 3
Vamos começar analisando a função de transferência do sistema sem compensação. Suponha que ela seja
. Para projetar o compensador, precisamos plotar o Diagrama de Bode de
e identificar onde precisamos ajustar para atingir as margens desejadas.
Passo 4
Com o Diagrama de Bode, identificamos a frequência de cruzamento de ganho
, onde a magnitude de
é 0 dB. Nessa frequência, verificamos a margem de fase atual. Se for menor que 30 graus, precisamos adicionar um compensador que aumente essa margem.
Passo 5
Para aumentar a margem de ganho, podemos adicionar um compensador proporcional que ajusta o ganho do sistema. Um compensador típico pode ser do tipo lead ou lag, dependendo de como queremos ajustar a resposta em frequência.
Passo 6
Vamos optar por um compensador lead, que nos ajuda a aumentar a margem de fase. A função de transferência de um compensador lead é:
Onde
é o ganho,
é a constante de tempo, e
é menor que 1.
Passo 7
Escolhemos
e
de forma que o compensador adicione a fase necessária na frequência de cruzamento de ganho
. Isso aumenta a margem de fase.
Passo 8
Depois de definir
, multiplicamos pela função de transferência original
para obter a nova função de transferência do sistema compensado:
Passo 9
Com o sistema compensado
, plotamos novamente o Diagrama de Bode para verificar se as margens de ganho e de fase atingiram os valores desejados de 8 dB e 30 graus, respectivamente.
Resposta
Ao projetar um compensador lead com os parâmetros adequados, conseguimos ajustar o sistema para que tenha uma margem de ganho de pelo menos 8 dB e uma margem de fase de pelo menos 30 graus, garantindo assim maior estabilidade e robustez do sistema.