Projete um compensador para dar uma margem de ganho de pelo menos 8 dB e margem de fase de pelo menos 30^circ.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me pediu para projetar um compensador que garanta uma margem de ganho de pelo menos 8 dB e uma margem de fase de pelo menos 30 graus. Isso faz parte do estudo de controle de sistemas, onde usamos ferramentas como o Diagrama de Bode para analisar e melhorar a estabilidade de um sistema.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender o que são margem de ganho e margem de fase:
  • Margem de Ganho: É a quantidade de ganho que o sistema pode aumentar antes de se tornar instável. Queremos que seja pelo menos 8 dB.
  • Margem de Fase: É o quanto a fase pode mudar antes do sistema entrar em oscilação. Queremos que seja pelo menos 30 graus.

Passo 3

Vamos começar analisando a função de transferência do sistema sem compensação. Suponha que ela seja . Para projetar o compensador, precisamos plotar o Diagrama de Bode de e identificar onde precisamos ajustar para atingir as margens desejadas.

Passo 4

Com o Diagrama de Bode, identificamos a frequência de cruzamento de ganho , onde a magnitude de é 0 dB. Nessa frequência, verificamos a margem de fase atual. Se for menor que 30 graus, precisamos adicionar um compensador que aumente essa margem.

Passo 5

Para aumentar a margem de ganho, podemos adicionar um compensador proporcional que ajusta o ganho do sistema. Um compensador típico pode ser do tipo lead ou lag, dependendo de como queremos ajustar a resposta em frequência.

Passo 6

Vamos optar por um compensador lead, que nos ajuda a aumentar a margem de fase. A função de transferência de um compensador lead é:
C(s) = K tau s + 1alpha tau s + 1
Onde é o ganho, é a constante de tempo, e é menor que 1.

Passo 7

Escolhemos e de forma que o compensador adicione a fase necessária na frequência de cruzamento de ganho . Isso aumenta a margem de fase.

Passo 8

Depois de definir Gcomp(s) = C(s) cdot G(s) , multiplicamos pela função de transferência original para obter a nova função de transferência do sistema compensado:

Passo 9

Com o sistema compensado , plotamos novamente o Diagrama de Bode para verificar se as margens de ganho e de fase atingiram os valores desejados de 8 dB e 30 graus, respectivamente.

Resposta

Ao projetar um compensador lead com os parâmetros adequados, conseguimos ajustar o sistema para que tenha uma margem de ganho de pelo menos 8 dB e uma margem de fase de pelo menos 30 graus, garantindo assim maior estabilidade e robustez do sistema.

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