Encontre y^prime=d yd x diferenciando implicitamente.
e^x^2 y=x+y

Passo 1

O enunciado dá a relação implícita e^x^2y=x+y. O conteúdo aqui é diferenciação implícita, em que vamos usar a regra da cadeia para e^u e a regra do produto para o expoente u=x^2y.

Passo 2

Vamos derivar o lado esquerdo e^x^2y. Aplicando cadeia, temos:
ddxl(e^x^2yr)=e^x^2ycdotddx(x^2y) Para ddx(x^2y) usamos o produto:
ddx(x^2y)=2x,y+x^2dydx=2xy+x^2y'

Passo 3

Derivando o lado direito x+y é direto:
ddx(x+y)=1+y'

Passo 4

Agora igualamos as duas derivadas:
e^x^2y(2xy+x^2y')=1+y' Em seguida, agrupamos os termos que contêm y' de um lado e os outros do outro:
e^x^2y,2xy+e^x^2yx^2y'=1+y' Longrightarrow e^x^2yx^2y'-y'=1-2xy,e^x^2y

Passo 5

Fatoramos y' no lado esquerdo e isolamos:
y'(e^x^2yx^2-1)=1-2xy,e^x^2y Longrightarrow y'=1-2xy,e^x^2yx^2e^x^2y-1

Resposta

y'=1-2xy,e^x^2yx^2e^x^2y-1

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