Escreva os 5 primeiros termos de cada uma das seguintes sequências x1=raiz3, xk+1=raiz3 xk e determine seus limites.

Passo 1

O enunciado dá a sequência definida por
Definimos x1=raiz3 e, para todo k, xk+1=raiz3,xk.
Queremos escrever os cinco primeiros termos desta sequência e determinar o seu limite.

Passo 2

Aplicando a definição para k=1:
x2=raiz3,x1=raiz3raiz3=3^3/4
Em seguida:
x3=raiz3,x2=raiz3cdot3^3/4=3^7/8

Passo 3

Para achar uma fórmula geral, note que se escrevermos xk=3^ak, então
ak+1=1+ak2,
com condição inicial a1=1/2. Essa é uma recorrência linear simples cuja solução é
ak=1-tfrac12^k

Passo 4

Logo temos a expressão fechada
x1=3^1-1/2=3^1/2,
Usando isso, os cinco primeiros termos são:
x2=3^1-1/4=3^3/4,
x3=3^1-1/8=3^7/8,
x4=3^1-1/16=3^15/16,
x5=3^1-1/32=3^31/32

Passo 5

Para determinar o limite L=limktoinftyxk, fazemos L=raiz3L. Daí
L^2=3L implica L(L-3)=0, ou seja L=0 ou L=3. Como xk>0 e crescente até 3, concluímos que L=3.

Resposta

Os cinco primeiros termos são
x1=3^1/2,;x2=3^3/4,;x3=3^7/8,;x4=3^15/16,;x5=3^31/32
O limite da sequência é 3.

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