Escreva os 5 primeiros termos de cada uma das seguintes sequências x1=12, xk+1=11+xk e determine seus limites.

Passo 1

A questão dá a sequência definida por recorrência x1 = tfrac12 e xk+1 = tfrac11 + xk. Precisamos usar conceitos de sequências definidas por recorrência e de limites de sequências para calcular os primeiros termos e determinar o limite, supondo que a sequência converge a um ponto fixo da função f(x)=tfrac11+x.

Passo 2

Vamos calcular os primeiros 5 termos aplicando a fórmula recursiva passo a passo:

Passo 3

Começando em x1 = tfrac12:
x2 = 11 + x1 = 11 + tfrac12 = 23,
x3 = 11 + x2 = 11 + tfrac23 = 35,
x4 = 11 + x3 = 11 + tfrac35 = 58,
x5 = 11 + x4 = 11 + tfrac58 = 813

Passo 4

Para encontrar o limite L (se existir), igualamos L à aplicação da recorrência em si mesma, pois num ponto fixo temos:
L = 11 + L
Multiplicando ambos os lados por (1+L) e rearranjando, obtemos
L(1 + L) = 1 implies L^2 + L - 1 = 0
Resolvendo essa equação quadrática pelo fórmula de Bhaskara:
L = -1 pm raiz1 + 42 = -1 pm raiz52
Como xk > 0 para todo k, escolhemos a raiz positiva:
L = raiz5 - 12

Resposta

Os cinco primeiros termos são
tfrac12,,tfrac23,,tfrac35,,tfrac58,,tfrac813
e o limite da sequência é
raiz5 - 12

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