Escreva os 5 primeiros termos de cada uma das seguintes sequências
e determine seus limites.
Passo 1
A questão dá a sequência definida por recorrência
e
. Precisamos usar conceitos de sequências definidas por recorrência e de limites de sequências para calcular os primeiros termos e determinar o limite, supondo que a sequência converge a um ponto fixo da função
.
Passo 2
Vamos calcular os primeiros 5 termos aplicando a fórmula recursiva passo a passo:
Passo 3
Começando em
:
Passo 4
Para encontrar o limite
(se existir), igualamos
à aplicação da recorrência em si mesma, pois num ponto fixo temos:
Multiplicando ambos os lados por
e rearranjando, obtemos
Resolvendo essa equação quadrática pelo fórmula de Bhaskara:
Como
para todo
, escolhemos a raiz positiva:
Resposta
Os cinco primeiros termos são
e o limite da sequência é
e o limite da sequência é