Diferencie a seguinte função contendo logaritmos:
y=\log _{10}\left(x^{3}+1\right)

Passo 1

O enunciado dá a função e pede sua derivada em relação a x:
  • Função dada: y=\log_{10}\!\left(x^{3}+1\right).
  • Pedido: calcular \dfrac{dy}{dx} (derivada de y em função de x).

Passo 2

Lembrete importante sobre logaritmos: a derivada de um logaritmo de base a>0, a\neq1, de uma função u(x) é dada pela fórmula abaixo. Vou escrever a fórmula e explicar cada símbolo:
\frac{d}{dx}\log_{a}\! \bigl(u(x)\bigr)=\frac{u'(x)}{u(x)\,\ln a}.
  • Aqui u(x) é a função interna (o que está dentro do log).
  • u'(x) é a derivada de u(x) em relação a x.
  • \ln a é o logaritmo natural da base a (constante).
    Essa fórmula vem do fato de que \log_a u = \dfrac{\ln u}{\ln a} e da regra da derivada do \ln.

Passo 3

Explicando a ideia da regra em palavras simples (cadeia/chain rule): quando você tem uma função composta do tipo y=f(g(x)), a derivada é y'=f'(g(x))\cdot g'(x). No caso do logaritmo, f(t)=\log_a t e g(x)=u(x). Deriva-se primeiro o log em relação a t e depois multiplica-se pela derivada de u(x).

Passo 4

Identificar a função interna no problema: aqui
u(x)=x^{3}+1.
Agora calcule a derivada de u:
u'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(x^{3}+1\bigr)=3x^{2}+0=3x^{2}.
Explanação curta: a derivada de x^{3} é 3x^{2} (regra do poder: \tfrac{d}{dx}x^{n}=n x^{n-1}), e a derivada de constante é zero.

Passo 5

Aplicar a fórmula da derivada do logaritmo de base a com a=10, u(x)=x^{3}+1 e u'(x)=3x^{2}:
\frac{dy}{dx}=\frac{u'(x)}{u(x)\,\ln 10}=\frac{3x^{2}}{\bigl(x^{3}+1\bigr)\ln 10}.

Passo 6

Método alternativo (mesma resposta, por comparação): usar \log_{10}(\cdot)=\dfrac{\ln(\cdot)}{\ln 10}. Então
y=\frac{\ln\!\bigl(x^{3}+1\bigr)}{\ln 10}\quad\Rightarrow\quad \frac{dy}{dx}=\frac{1}{\ln 10}\cdot\frac{d}{dx}\ln\!\bigl(x^{3}+1\bigr) =\frac{1}{\ln 10}\cdot\frac{3x^{2}}{x^{3}+1},
o que dá exatamente a mesma expressão do Passo 5.

Passo 7

Observação sobre domínio e sinais (para você checar na prova): a fórmula vale para valores de x tais que x^{3}+1>0 quando for considerar o valor numérico do logaritmo real. Porém a derivada formal obtida vale como expressão algébrica sempre que x^{3}+1\neq0 (para evitar divisão por zero na expressão derivada).

Resposta

\frac{dy}{dx}=\frac{3x^{2}}{\bigl(x^{3}+1\bigr)\ln 10}

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