Diferencie a seguinte função contendo logaritmos:
Passo 1
O enunciado dá a função e pede sua derivada em relação a
:
- Função dada:
. - Pedido: calcular
(derivada de em função de ).
Passo 2
Lembrete importante sobre logaritmos: a derivada de um logaritmo de base
,
, de uma função
é dada pela fórmula abaixo. Vou escrever a fórmula e explicar cada símbolo:
- Aqui
é a função interna (o que está dentro do log). -
é a derivada de em relação a . -
é o logaritmo natural da base (constante).
Essa fórmula vem do fato de quee da regra da derivada do .
Passo 3
Explicando a ideia da regra em palavras simples (cadeia/chain rule): quando você tem uma função composta do tipo
, a derivada é
. No caso do logaritmo,
e
. Deriva-se primeiro o log em relação a
e depois multiplica-se pela derivada de
.
Passo 4
Identificar a função interna no problema: aqui
Agora calcule a derivada de
:
Explanação curta: a derivada de
é
(regra do poder:
), e a derivada de constante é zero.
Passo 5
Aplicar a fórmula da derivada do logaritmo de base
com
,
e
:
Passo 6
Método alternativo (mesma resposta, por comparação): usar
. Então
o que dá exatamente a mesma expressão do Passo 5.
Passo 7
Observação sobre domínio e sinais (para você checar na prova): a fórmula vale para valores de
tais que
quando for considerar o valor numérico do logaritmo real. Porém a derivada formal obtida vale como expressão algébrica sempre que
(para evitar divisão por zero na expressão derivada).