Encontre y^{\prime} derivando implicatamente.
y=\frac{1}{\operatorname{sen}^{-1} x}

Passo 1

O enunciado pede a derivada y' da função
y = \frac{1}{\operatorname{sen}^{-1}x}
usando derivação implícita. Vamos reescrever a relação de forma implícita e aplicar produto e regra da cadeia.

Passo 2

Reescrevendo de modo implícito temos
\operatorname{sen}^{-1}x \cdot y = 1.

Passo 3

Derivando ambos os lados em relação a x, o lado direito é constante, então
\frac{d}{dx}\bigl(\operatorname{sen}^{-1}x \cdot y\bigr) = 0.

Passo 4

Pela regra do produto,
y'\,\operatorname{sen}^{-1}x + y\;\frac{d}{dx}\bigl(\operatorname{sen}^{-1}x\bigr) = 0.

Passo 5

Como
\frac{d}{dx}\bigl(\operatorname{sen}^{-1}x\bigr) = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}},
substituímos e isolamos y':
y'\,\operatorname{sen}^{-1}x + y\cdot\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} = 0 \quad\Longrightarrow\quad y' = -\frac{y}{\operatorname{sen}^{-1}x \,\sqrt{1-x^2}}.

Passo 6

Por fim, substituímos y = 1/(\operatorname{sen}^{-1}x) na expressão de y':
y' = -\frac{\displaystyle\frac{1}{\operatorname{sen}^{-1}x}} {\operatorname{sen}^{-1}x \,\sqrt{1-x^2}} = -\frac{1}{(\operatorname{sen}^{-1}x)^{2}\,\sqrt{1-x^2}}.

Resposta

y' = -\frac{1}{(\operatorname{sen}^{-1}x)^{2}\,\sqrt{1-x^2}}.

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