Calcule os seguintes limites:
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{e^{x}-e^{-x}}{\operatorname{sen} x \cdot \cos x}.

Passo 1

O enunciado pede calcular
\lim_{x\rightarrow 0}\frac{e^{x}-e^{-x}}{\sin x\cdot \cos x}.
Esse é um problema de limites de funções que gera uma indeterminação do tipo \tfrac{0}{0}. Para resolvê-lo, vamos usar séries de Taylor em torno de x=0.

Passo 2

Verificamos a indeterminação avaliando numerador e denominador em x=0:
e^{x}-e^{-x}\bigl|_{x=0}=1-1=0, \qquad \sin x\cdot\cos x\bigl|_{x=0}=0\cdot1=0.
Como obtemos 0/0, podemos expandir numerador e denominador em potências de x.

Passo 3

Expandimos e^{x} e e^{-x} até a ordem x^3:
e^{x}=1 + x + \tfrac{x^2}{2} + \tfrac{x^3}{6} + O(x^4), \qquad e^{-x}=1 - x + \tfrac{x^2}{2} - \tfrac{x^3}{6} + O(x^4),
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e^{x}-e^{-x} =2x + \frac{2x^3}{6} + O(x^5) =2x + \frac{x^3}{3} + O(x^5).

Passo 4

Expandimos \sin x e \cos x até a ordem x^3:
\sin x = x - \tfrac{x^3}{6} + O(x^5), \qquad \cos x = 1 - \tfrac{x^2}{2} + O(x^4),
então
\sin x\cos x =\bigl(x - \tfrac{x^3}{6}\bigr)\bigl(1 - \tfrac{x^2}{2}\bigr) = x - \tfrac{x^3}{2} - \tfrac{x^3}{6} + O(x^5) = x - \tfrac{2x^3}{3} + O(x^5).

Passo 5

Dividindo as duas expansões:
\frac{e^{x}-e^{-x}}{\sin x\cos x} =\frac{2x + \tfrac{x^3}{3} + O(x^5)}{x\bigl(1 - \tfrac{2x^2}{3} + O(x^4)\bigr)} =2\;\frac{1 + \tfrac{x^2}{6} + O(x^4)}{1 - \tfrac{2x^2}{3} + O(x^4)}.
Quando x\to0, esse quociente tende a
2 \times 1 = 2.

Resposta

2

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