Calcule os seguintes limites: \lim _{x \rightarrow 0} \frac{e^{x}-e^{-x}}{\operatorname{sen} x \cdot \cos x}. Passo 1O enunciado pede calcular \lim_{x\rightarrow 0}\frac{e^{x}-e^{-x}}{\sin x\cdot \cos x}. Esse é um problema de limites de funções que gera uma indeterminação do tipo \tfrac{0}{0}. Para resolvê-lo, vamos usar séries de Taylor em torno de x=0. Passo 2Verificamos a indeterminação avaliando numerador e denominador em x=0: e^{x}-e^{-x}\bigl|_{x=0}=1-1=0, \qquad \sin x\cdot\cos x\bigl|_{x=0}=0\cdot1=0. Como obtemos 0/0, podemos expandir numerador e denominador em potências de x. Passo 3Expandimos e^{x} e e^{-x} até a ordem x^3: e^{x}=1 + x + \tfrac{x^2}{2} + \tfrac{x^3}{6} + O(x^4), \qquad e^{-x}=1 - x + \tfrac{x^2}{2} - \tfrac{x^3}{6} + O(x^4), logo e^{x}-e^{-x} =2x + \frac{2x^3}{6} + O(x^5) =2x + \frac{x^3}{3} + O(x^5). Passo 4Expandimos \sin x e \cos x até a ordem x^3: \sin x = x - \tfrac{x^3}{6} + O(x^5), \qquad \cos x = 1 - \tfrac{x^2}{2} + O(x^4), então \sin x\cos x =\bigl(x - \tfrac{x^3}{6}\bigr)\bigl(1 - \tfrac{x^2}{2}\bigr) = x - \tfrac{x^3}{2} - \tfrac{x^3}{6} + O(x^5) = x - \tfrac{2x^3}{3} + O(x^5). Passo 5Dividindo as duas expansões: \frac{e^{x}-e^{-x}}{\sin x\cos x} =\frac{2x + \tfrac{x^3}{3} + O(x^5)}{x\bigl(1 - \tfrac{2x^2}{3} + O(x^4)\bigr)} =2\;\frac{1 + \tfrac{x^2}{6} + O(x^4)}{1 - \tfrac{2x^2}{3} + O(x^4)}. Quando x\to0, esse quociente tende a 2 \times 1 = 2. Resposta 2 MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETAExercícios relacionadosDado o ponto \mathrm{A}(2,3,-4) e o vetor \vec{v}=(1,-2,3), determine: Pontuação: \mathbf{0 , 5} ponto a) as equações paramétricas da reta r que passa por A e tem direção \vec{v}; b) o ponto de r cuja abscissa é 4 . Um ponto A está 40 metros horizontalmente de B, e \circ desnível entre eles é de 12 metros. Qual é a distância real (inclinada) entre os pontos A e B ? Calcule os seguintes limites: \lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{x \sqrt{x}-1}{3 x-1}. (a) (1,0) Encontre y^{\prime} derivando implicitamente a equação x y^{2}=x^{2} \operatorname{sen} y. (b) (0,5) Determine o valor de y^{\prime} no ponto \left(\frac{\pi^{2}}{4}, \frac{\pi}{2}\right). (c) (0,5) Determine a reta tangente à curva dada no item (a) no ponto dac item (b).