Encontre dois números positivos cuja o produto seja 800 e a soma entre eles seja mínima.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrarmos dois números positivos cujo produto seja 800 e que, além disso, a soma desses dois números seja a menor possível. Vamos precisar usar conceitos de álgebra, especificamente de funções e otimização, para encontrar esses números.

Passo 2

Primeiro, vamos chamar os dois números de x times y = 800 e . Sabemos que o produto deles é 800, então podemos escrever:

Passo 3

Agora, queremos minimizar a soma desses dois números, ou seja, queremos minimizar y = 800x . Mas como temos uma relação entre e (o produto é 800), podemos expressar em função de :

Passo 4

Substituindo S = x + 800x na expressão da soma, temos:
Agora, queremos encontrar o valor de que torna mínimo.

Passo 5

Para encontrar o mínimo de uma função, usamos o conceito de derivada da matemática. Vamos calcular a derivada de dSdx = 1 - 800x^2 em relação a :

Passo 6

Para encontrar o ponto mínimo, igualamos a derivada a zero e resolvemos para 1 - 800x^2 = 0 :
800x^2 = 1
x^2 = 800
x = raiz800

Passo 7

Calculando a raiz quadrada de 800:
x = raiz800 approx 28,28
E como y = 80028,28 approx 28,28 , temos:

Resposta

Os dois números positivos são aproximadamente e , e essa é a combinação que minimiza a soma mantendo o produto igual a 800.

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