Encontre dois números positivos cuja o produto seja 800 e a soma entre eles seja mínima.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrarmos dois números positivos cujo produto seja 800 e que, além disso, a soma desses dois números seja a menor possível. Vamos precisar usar conceitos de álgebra, especificamente de funções e otimização, para encontrar esses números.
Passo 2
Primeiro, vamos chamar os dois números de
e
. Sabemos que o produto deles é 800, então podemos escrever:
Passo 3
Agora, queremos minimizar a soma desses dois números, ou seja, queremos minimizar
. Mas como temos uma relação entre
e
(o produto é 800), podemos expressar
em função de
:
Passo 4
Substituindo
na expressão da soma, temos:
Agora, queremos encontrar o valor de
que torna
mínimo.
Passo 5
Para encontrar o mínimo de uma função, usamos o conceito de derivada da matemática. Vamos calcular a derivada de
em relação a
:
Passo 6
Para encontrar o ponto mínimo, igualamos a derivada a zero e resolvemos para
:
Passo 7
Calculando a raiz quadrada de 800:
E como
, temos:
Resposta
Os dois números positivos são aproximadamente
e
, e essa é a combinação que minimiza a soma mantendo o produto igual a 800.