Encontre y^{\prime} :
y=x^{x}

Passo 1

O enunciado pede que se encontre y^{\prime} para a função
y = x^{x}.
Informações dadas:
  • A função é y=x^{x}.
  • Para aplicar logaritmo natural é necessário assumir x>0 (assim \ln x está definida e x^{x} é positivo).
    O objetivo final é obter uma fórmula para y^{\prime} em termos de x.

Passo 2

Por que não podemos usar diretamente as regras básicas de derivação de potência?
  • Regra 1 (potência com expoente constante): para y=x^{n} com n constante, vale \dfrac{d}{dx}x^{n}=n x^{n-1}.
  • Regra 2 (expoente variável, base constante): para y=a^{x} com a constante, vale \dfrac{d}{dx}a^{x}=a^{x}\ln a.
    No nosso caso tanto a base quanto o expoente dependem de x, então nenhuma das regras acima se aplica diretamente. Precisamos de uma técnica que lide com base e expoente variáveis: a diferenciação por logaritmo (logaritmic differentiation).

Passo 3

Aplicar logaritmo natural em ambos os lados. Essa técnica simplifica quando a variável aparece no expoente:
y = x^{x}\quad\Rightarrow\quad \ln y = \ln\!\bigl(x^{x}\bigr).
Usando a propriedade dos logaritmos \ln(a^{b}) = b\ln a, obtemos
\ln y = x\ln x.
Aqui é importante que x>0 para \ln x existir.

Passo 4

Diferenciar implicitamente ambos os lados em relação a x.
  • Lado esquerdo: usar a regra da cadeia para \ln y. Como y é função de x, tem-se
\frac{d}{dx}\bigl(\ln y\bigr)=\frac{y^{\prime}}{y}.
  • Lado direito: diferenciar x\ln x usando a regra do produto. Seja u(x)=x e v(x)=\ln x. Então
\frac{d}{dx}\bigl(x\ln x\bigr)=\frac{d}{dx}(x)\cdot\ln x + x\cdot\frac{d}{dx}(\ln x).
Sabendo \dfrac{d}{dx}(x)=1 e \dfrac{d}{dx}(\ln x)=\dfrac{1}{x}, obtemos
\frac{d}{dx}\bigl(x\ln x\bigr)=1\cdot\ln x + x\cdot\frac{1}{x}=\ln x + 1.
Portanto, derivando ambos os lados:
\frac{y^{\prime}}{y}=\ln x + 1.

Passo 5

Isolar y^{\prime}. Multiplicando ambos os lados por y obtemos
y^{\prime}=y\bigl(\ln x + 1\bigr).
Substituindo y=x^{x} de volta, chega-se à expressão final
y^{\prime}=x^{x}\bigl(\ln x + 1\bigr).

Passo 6

Interpretação e alternativa rápida (sem log passo a passo): reconhecer que
x^{x}=e^{x\ln x}.
Diferenciando e^{u(x)} e^{u(x)}u^{\prime}(x). Aqui u(x)=x\ln x e u^{\prime}(x)=\ln x +1. Logo
\frac{d}{dx}x^{x}=e^{x\ln x}\bigl(\ln x +1\bigr)=x^{x}\bigl(\ln x +1\bigr),
mesmo resultado.

Passo 7

Exemplo numérico para intuição: em x=2,
y^{\prime}(2)=2^{2}\bigl(\ln 2 +1\bigr)=4\bigl(\ln 2 +1\bigr).
Aproximando \ln 2\approx 0,6931, obtém-se y^{\prime}(2)\approx 4\cdot 1,6931\approx 6,7724.

Resposta

y^{\prime}=x^{x}\bigl(\ln x + 1\bigr)

Exercícios relacionados