Encontre
:
Passo 1
O enunciado pede que se encontre
para a função
Informações dadas:
- A função é
. - Para aplicar logaritmo natural é necessário assumir
(assim está definida e é positivo).
O objetivo final é obter uma fórmula paraem termos de .
Passo 2
Por que não podemos usar diretamente as regras básicas de derivação de potência?
- Regra 1 (potência com expoente constante): para
com constante, vale . - Regra 2 (expoente variável, base constante): para
com constante, vale .
No nosso caso tanto a base quanto o expoente dependem de, então nenhuma das regras acima se aplica diretamente. Precisamos de uma técnica que lide com base e expoente variáveis: a diferenciação por logaritmo (logaritmic differentiation).
Passo 3
Aplicar logaritmo natural em ambos os lados. Essa técnica simplifica quando a variável aparece no expoente:
Usando a propriedade dos logaritmos
, obtemos
Aqui é importante que
para
existir.
Passo 4
Diferenciar implicitamente ambos os lados em relação a
.
- Lado esquerdo: usar a regra da cadeia para
. Como é função de , tem-se
- Lado direito: diferenciar
usando a regra do produto. Seja e . Então
Sabendo
e
, obtemos
Portanto, derivando ambos os lados:
Passo 5
Isolar
. Multiplicando ambos os lados por
obtemos
Substituindo
de volta, chega-se à expressão final
Passo 6
Interpretação e alternativa rápida (sem log passo a passo): reconhecer que
Diferenciando
dá
. Aqui
e
. Logo
mesmo resultado.
Passo 7
Exemplo numérico para intuição: em
,
Aproximando
, obtém-se
.