Exercício de Aquecimento: Dada a função f(x)=\ln \left(1+e^{2 x}\right), calcule a sua derivada f^{\prime}(x).

Passo 1

O enunciado dá a função f(x)=\ln\!\big(1+e^{2x}\big) e pede para calcular a derivada f'(x). Informações relevantes fornecidas:
  • A função é f(x)=\ln\!\big(1+e^{2x}\big).
  • O domínio implícito é todo \mathbb{R} porque 1+e^{2x}>0 para todo x.
  • O que se pede: encontrar f'(x).

Passo 2

Lembrete útil (fórmula que vamos usar): se f(x)=\ln\!\big(u(x)\big), então a derivada é dada pela regra da cadeia combinada com a derivada do logaritmo:
f'(x)=\frac{u'(x)}{u(x)}.
Explicando bem devagar: a função \ln é uma função externa e u(x) é a função interna; a regra diz que para derivar a composição faz-se a derivada da externa avaliada na interna ( 1/u) multiplicada pela derivada da interna ( u').

Passo 3

Identificamos a função interna:
u(x)=1+e^{2x}.
Agora calculamos u'(x). Para isso usamos a regra de derivação da exponencial composta: se h(x)=e^{g(x)} então h'(x)=g'(x)\,e^{g(x)}. Aqui g(x)=2x tem derivada g'(x)=2. Portanto
\frac{d}{dx}e^{2x}=2e^{2x}.
Assim
u'(x)=\frac{d}{dx}\big(1+e^{2x}\big)=0+2e^{2x}=2e^{2x}.

Passo 4

Agora aplicamos a fórmula do Passo 2:
f'(x)=\frac{u'(x)}{u(x)}=\frac{2e^{2x}}{1+e^{2x}}.
Essa é a forma mais direta e já está simplificada.

Passo 5

Forma alternativa (por estilo): multiplicando numerador e denominador por e^{-2x} obtém-se uma forma frequentemente usada,
f'(x)=\frac{2}{1+e^{-2x}}.
Nota intuitiva rápida: como e^{2x}>0, tem-se 0< f'(x)<2 para todo x. Força aí — é só aplicar a regra da cadeia e a derivada da exponencial!

Resposta

\dfrac{2e^{2x}}{1+e^{2x}}

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