Exercício de Aquecimento: Dada a função
, calcule a sua derivada
.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para calcular a derivada
. Informações relevantes fornecidas:
- A função é
. - O domínio implícito é todo
porque para todo . - O que se pede: encontrar
.
Passo 2
Lembrete útil (fórmula que vamos usar): se
, então a derivada é dada pela regra da cadeia combinada com a derivada do logaritmo:
Explicando bem devagar: a função
é uma função externa e
é a função interna; a regra diz que para derivar a composição faz-se a derivada da externa avaliada na interna (
) multiplicada pela derivada da interna (
).
Passo 3
Identificamos a função interna:
Agora calculamos
. Para isso usamos a regra de derivação da exponencial composta: se
então
. Aqui
tem derivada
. Portanto
Assim
Passo 4
Agora aplicamos a fórmula do Passo 2:
Essa é a forma mais direta e já está simplificada.
Passo 5
Forma alternativa (por estilo): multiplicando numerador e denominador por
obtém-se uma forma frequentemente usada,
Nota intuitiva rápida: como
, tem-se
para todo
. Força aí — é só aplicar a regra da cadeia e a derivada da exponencial!