Encontre
para
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Passo 1
O enunciado pede para encontrar a segunda derivada de y em função de x, dado que y + cos y = x. O conteúdo aqui é diferencial implícita e regra da cadeia, e vamos precisar de derivar implicitamente duas vezes essa relação.
Passo 2
Derivando implicitamente a relação y + cos y = x em relação a x, aplicamos a regra da cadeia em cos y:
y’ + (− sin y)·y’ = 1.
Passo 3
Agrupando os termos em y’, temos
Logo,
Passo 4
Para obter y’’, derivamos a expressão de y’ em relação a x usando a regra do quociente (ou visto como –(D’)/D²): seja D = 1 - sin y, então
Como D’ = -(cos y)·y’, substituímos:
Passo 5
Por fim, substituímos y’ = 1/(1 - sin y) na expressão acima: