Encontre y^prime prime para y+cos y=x.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a segunda derivada de y em função de x, dado que y + cos y = x. O conteúdo aqui é diferencial implícita e regra da cadeia, e vamos precisar de derivar implicitamente duas vezes essa relação.

Passo 2

Derivando implicitamente a relação y + cos y = x em relação a x, aplicamos a regra da cadeia em cos y:
y’ + (− sin y)·y’ = 1.

Passo 3

Agrupando os termos em y’, temos
y'(1 - sin y) = 1
Logo,
y' = 11 - sin y

Passo 4

Para obter y’’, derivamos a expressão de y’ em relação a x usando a regra do quociente (ou visto como –(D’)/D²): seja D = 1 - sin y, então
y' = D^-1,
y'' = -D^-2·D'
Como D’ = -(cos y)·y’, substituímos:
y'' = -D^-2·[-cos y,y'] = cos y,y'(1 - sin y)^2

Passo 5

Por fim, substituímos y’ = 1/(1 - sin y) na expressão acima:
y'' = cos y(1 - sin y)^2cdot11 - sin y = cos y(1 - sin y)^3

Resposta

y'' = cos y(1 - sin y)^3

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