Seja
f(x)= 2 x+k, & x <= 1 x^2+2, & x>1
Determine o valor de k para que a função seja contínua em toda parte.

Passo 1

O enunciado define a função por partes
f(x)=2x+k,&x<=1x^2+2,&x>1 e pede valor de k para que f seja contínua em todo R.

Passo 2

Para continuidade em todo lugar, a única possível descontinuidade está em x=1. Precisamos que o valor à esquerda em 1 coincida com o valor à direita em 1 e com f(1).
O lado esquerdo em 1 é f(1^-)=2cdot1+k=2+k.
O lado direito em 1 é f(1^+)=1^2+2=3.

Passo 3

Igualando os limites para garantir continuidade em 1:
2+k=3
Resolvendo, obtemos k=1.

Resposta

k=1

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