Encontre o zero das seguintes funções, pelo método de Newton e o método da Posição Falsa com
.
, em
com:
para Newton;
e
para Posição Falsa.
Passo 1
O que o enunciado pede e quais dados temos\n
- Pedem encontrar o zero (uma raiz) da função
no intervalo por dois métodos: Newton e Posição Falsa (regula falsi).\n - Precisamos usar precisão
. Vou usar como critério de parada a condição (ou seja, a diferença entre duas aproximações consecutivas menor ou igual a ). Esse é um critério prático e comum em provas; vou explicitar isso para ficar claro.\n - Dados iniciais fornecidos:\n
- Para Newton:
.\n - Para Posição Falsa:
e .\n
- Para Newton:
- Também observamos (para referência):
e (vou usar esses valores porque são úteis para começar a Posição Falsa).
Passo 2
Método de Newton — explicação didática e fórmula\n
- Ideia rápida: partimos de uma aproximação
e substituímos a curva por sua reta tangente em . A interseção dessa reta com o eixo dá a próxima aproximação . Repetimos até convergir.\n - Fórmula do método de Newton:\n
\nAqui é a derivada da função; representa a inclinação da tangente em .\n - Para nossa função
a derivada é\n \nVou aplicar a fórmula com e usar o critério para parar. Em cada iteração eu calculo , e a nova . Vou mostrar as contas.
Passo 3
Iterações do método de Newton (contas passo a passo)\n
- Iteração 0 → 1 com
\n
- Calcular
: \n - Calcular
: \n - Aplicar a fórmula:\n
\n
- Iteração 1 → 2 com
\n
- Calcular
. Usando aritmética: e , então\n \n - Calcular
: \n - Aplicar a fórmula:\n
\n - Diferença
→ continuar.\n
- Iteração 2 → 3 com
\n
- Calcular
: dá aproximadamente \n - Calcular
: dá aproximadamente \n - Atualizar:\n
\n - Diferença
→ continuar.\n
- Iteração 3 → 4 com
\n
- Calcular
: aproximadamente \n - Calcular
: aproximadamente \n - Atualizar:\n
\n - Diferença
. Critério satisfeito → parámos.\n
Conclusão do Newton: a aproximação obtida é(com diferença entre iterações menor que ).
Passo 4
Método da Posição Falsa (regula falsi) — explicação didática e fórmula\n
- Ideia rápida: temos um intervalo
com . Aproximamos a curva por uma reta passando por e e tomamos a interseção dessa reta com o eixo como nova aproximação . Substituímos o extremo cujo sinal de é igual ao de , mantendo o intervalo que conserva a mudança de sinal.\n - Fórmula da posição falsa (fórmula do ponto de interseção de duas retas):\n
\n - Começamos com
, , , . Usarei o mesmo critério de parada .
Passo 5
Iterações da Posição Falsa (contas passo a passo)\n
- Iteração 0 → 1 com
, :\n \nAvaliando, . Como e , substituímos . Novo intervalo: .\n - Iteração 1 → 2 com
, :\n \n . Atualizamos . Intervalo: .\n - Iteração 2 → 3 com
, :\n \nAtualizamos . Intervalo: .\n - Iteração 3 → 4:\n
\nAtualizamos .\n - Iteração 4 → 5:\n
\nAtualizamos .\n - Iteração 5 → 6:\n
\nAtualizamos .\n - Iteração 6 → 7:\n
\nAtualizamos .\n - Iteração 7 → 8:\n
\nAtualizamos .\n - Iteração 8 → 9:\n
\nAqui a diferença . Pelo critério escolhido, paramos.\n
Observação: a Posição Falsa aproxima a raiz pelo lado do extremo que possui valorneste caso, e vai reduzindo o intervalo até que a mudança entre aproximações consecutivas fique abaixo de .
Passo 6
Resumo e interpretação das aproximações obtidas\n
- Newton (com
) convergiu em poucas iterações para aproximadamente quando foi satisfeito.\n - Posição Falsa (com
) convergiu, pelo mesmo critério, para aproximadamente .\n - As duas respostas são consistentes e muito próximas (diferença menor que
), o que dá confiança de que a raiz real dentro de é aproximadamente .
Resposta
Newton:
\n
Posição Falsa:
Posição Falsa: