Encontre o zero das seguintes funções, pelo método de Newton e o método da Posição Falsa com \varepsilon \leq 0.01.
f(x)=x^{3}+3 x^{2}-1=0, em [-4,-2] com: x_{0}=-4 para Newton; x_{0}=-4 e x_{1}=-2 para Posição Falsa.

Passo 1

O que o enunciado pede e quais dados temos\n
  • Pedem encontrar o zero (uma raiz) da função \,f(x)=x^{3}+3x^{2}-1\, no intervalo [-4,-2] por dois métodos: Newton e Posição Falsa (regula falsi).\n
  • Precisamos usar precisão \varepsilon \le 0{,}01. Vou usar como critério de parada a condição \lvert x_{n+1}-x_n\rvert \le 0{,}01 (ou seja, a diferença entre duas aproximações consecutivas menor ou igual a 0{,}01). Esse é um critério prático e comum em provas; vou explicitar isso para ficar claro.\n
  • Dados iniciais fornecidos:\n
    • Para Newton: x_0=-4.\n
    • Para Posição Falsa: x_0=-4 e x_1=-2.\n
  • Também observamos (para referência): \,f(-4)=-17\, e \,f(-2)=3\, (vou usar esses valores porque são úteis para começar a Posição Falsa).

Passo 2

Método de Newton — explicação didática e fórmula\n
  • Ideia rápida: partimos de uma aproximação x_n e substituímos a curva por sua reta tangente em x_n. A interseção dessa reta com o eixo x dá a próxima aproximação x_{n+1}. Repetimos até convergir.\n
  • Fórmula do método de Newton:\n x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)}.\nAqui f'(x) é a derivada da função; representa a inclinação da tangente em x.\n
  • Para nossa função \,f(x)=x^{3}+3x^{2}-1\, a derivada é\n f'(x)=3x^{2}+6x = 3x(x+2).\nVou aplicar a fórmula com x_0=-4 e usar o critério \lvert x_{n+1}-x_n\rvert \le 0{,}01 para parar. Em cada iteração eu calculo f(x_n), f'(x_n) e a nova x_{n+1}. Vou mostrar as contas.

Passo 3

Iterações do método de Newton (contas passo a passo)\n
  1. Iteração 0 → 1 com x_0=-4\n
  • Calcular f(x_0): f(-4)=(-4)^3+3(-4)^2-1 = -64 + 48 -1 = -17.\n
  • Calcular f'(x_0): f'(-4)=3(-4)^2+6(-4)=48-24=24.\n
  • Aplicar a fórmula:\n x_1 = -4 - \frac{-17}{24} = -4 + \frac{17}{24} = -\frac{79}{24} \approx -3{,}2916667.\n
  1. Iteração 1 → 2 com x_1\approx -3{,}2916667\n
  • Calcular f(x_1). Usando aritmética: x_1^2\approx 10{,}8170 e x_1^3\approx -35{,}6440, então\n f(x_1)=x_1^3+3x_1^2-1 \approx -35{,}6440 + 32{,}4510 -1 \approx -4{,}15897.\n
  • Calcular f'(x_1): f'(x_1)=3x_1(x_1+2)\approx 12{,}7604.\n
  • Aplicar a fórmula:\n x_2 = x_1 - \frac{f(x_1)}{f'(x_1)} \approx -3{,}2916667 - \frac{-4{,}15897}{12{,}7604} \approx -2{,}9656747.\n
  • Diferença \lvert x_2-x_1\rvert \approx 0{,}32599 > 0{,}01 → continuar.\n
  1. Iteração 2 → 3 com x_2\approx -2{,}9656747\n
  • Calcular f(x_2): dá aproximadamente f(x_2)\approx -0{,}7053.\n
  • Calcular f'(x_2): dá aproximadamente f'(x_2)\approx 8{,}5929.\n
  • Atualizar:\n x_3 \approx -2{,}9656747 - \frac{-0{,}7053}{8{,}5929} \approx -2{,}8835547.\n
  • Diferença \lvert x_3-x_2\rvert \approx 0{,}08212 > 0{,}01 → continuar.\n
  1. Iteração 3 → 4 com x_3\approx -2{,}8835547\n
  • Calcular f(x_3): aproximadamente f(x_3)\approx -0{,}0320.\n
  • Calcular f'(x_3): aproximadamente f'(x_3)\approx 7{,}644.\n
  • Atualizar:\n x_4 \approx -2{,}8835547 - \frac{-0{,}0320}{7{,}644} \approx -2{,}8793647.\n
  • Diferença \lvert x_4-x_3\rvert \approx 0{,}00419 \le 0{,}01. Critério satisfeito → parámos.\n
    Conclusão do Newton: a aproximação obtida é x\approx -2{,}87936 (com diferença entre iterações menor que 0{,}01).

Passo 4

Método da Posição Falsa (regula falsi) — explicação didática e fórmula\n
  • Ideia rápida: temos um intervalo [a,b] com f(a)\cdot f(b)<0. Aproximamos a curva por uma reta passando por (a,f(a)) e (b,f(b)) e tomamos a interseção dessa reta com o eixo x como nova aproximação x_r. Substituímos o extremo cujo sinal de f é igual ao de f(x_r), mantendo o intervalo que conserva a mudança de sinal.\n
  • Fórmula da posição falsa (fórmula do ponto de interseção de duas retas):\n x_r = \frac{a\,f(b) - b\,f(a)}{f(b)-f(a)}.\n
  • Começamos com a=-4, b=-2, f(-4)=-17, f(-2)=3. Usarei o mesmo critério de parada \lvert x_{k+1}-x_k\rvert \le 0{,}01.

Passo 5

Iterações da Posição Falsa (contas passo a passo)\n
  • Iteração 0 → 1 com a=-4, b=-2:\n x_1 = \frac{(-4)\cdot 3 - (-2)\cdot(-17)}{3-(-17)} = \frac{-12 -34}{20} = -\frac{46}{20} = -2{,}3.\nAvaliando, f(-2{,}3)\approx 2{,}703>0. Como f(a)=-17<0 e f(x_1)>0, substituímos b\leftarrow x_1. Novo intervalo: [-4,-2{,}3].\n
  • Iteração 1 → 2 com a=-4, b=-2{,}3:\n x_2 = \frac{(-4)f(b) - b f(a)}{f(b)-f(a)} \approx \frac{(-4)\cdot 2{,}703 - (-2{,}3)\cdot(-17)}{2{,}703-(-17)} \approx -2{,}5339.\n f(x_2)\approx 2{,}000>0. Atualizamos b\leftarrow x_2. Intervalo: [-4,-2{,}5339].\n
  • Iteração 2 → 3 com a=-4, b\approx -2{,}5339:\n x_3 \approx -2{,}68716, \quad f(x_3)\approx 1{,}266>0.\nAtualizamos b\leftarrow x_3. Intervalo: [-4,-2{,}68716].\n
  • Iteração 3 → 4:\n x_4 \approx -2{,}7784, \quad f(x_4)\approx 0{,}700>0.\nAtualizamos b\leftarrow x_4.\n
  • Iteração 4 → 5:\n x_5 \approx -2{,}8278, \quad f(x_5)\approx 0{,}385>0.\nAtualizamos b\leftarrow x_5.\n
  • Iteração 5 → 6:\n x_6 \approx -2{,}8542, \quad f(x_6)\approx 0{,}210>0.\nAtualizamos b\leftarrow x_6.\n
  • Iteração 6 → 7:\n x_7 \approx -2{,}8692, \quad f(x_7)\approx 0{,}120>0.\nAtualizamos b\leftarrow x_7.\n
  • Iteração 7 → 8:\n x_8 \approx -2{,}8765, \quad f(x_8)\approx 0{,}069>0.\nAtualizamos b\leftarrow x_8.\n
  • Iteração 8 → 9:\n x_9 \approx -2{,}8804, \quad f(x_9)\approx 0{,}039>0.\nAqui a diferença \lvert x_9-x_8\rvert \approx 0{,}0039 \le 0{,}01. Pelo critério escolhido, paramos.\n
    Observação: a Posição Falsa aproxima a raiz pelo lado do extremo que possui valor f>0 neste caso, e vai reduzindo o intervalo até que a mudança entre aproximações consecutivas fique abaixo de 0{,}01.

Passo 6

Resumo e interpretação das aproximações obtidas\n
  • Newton (com x_0=-4) convergiu em poucas iterações para aproximadamente x\approx -2{,}87936 quando \lvert x_{n+1}-x_n\rvert \le 0{,}01 foi satisfeito.\n
  • Posição Falsa (com [a,b]=[-4,-2]) convergiu, pelo mesmo critério, para aproximadamente x\approx -2{,}8804.\n
  • As duas respostas são consistentes e muito próximas (diferença menor que 0{,}001), o que dá confiança de que a raiz real dentro de [-4,-2] é aproximadamente -2{,}88.

Resposta

Newton: -2{,}87936\n
Posição Falsa: -2{,}8804

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