Encontre o zero das seguintes funções, pelo método de Newton e o método da Posição Falsa com \varepsilon \leq 0.01.
f(x)=x^{3}+\cos x no intervalo [0,1] com: x_0 = 0 para Newton; x_0 = 0 e x_1 = 1 para Posição Falsa.

Passo 1

O enunciado pede encontrar o zero da função f no intervalo [0,1] usando dois métodos numéricos com tolerância \varepsilon\le 0,01. Os dados fornecidos são:
f(x)=x^{3}+\cos x,
intervalo [0,1], e iniciais:
\text{Newton: } x_0 = 0,\qquad \text{Posição Falsa: } x_0=0,\; x_1=1.çã
As perguntas explícitas são: aplicar o método de Newton (com x_0 dado) e aplicar o método da Posição Falsa (com x_0,x_1 dados), e obter uma aproximação do zero com erro (critério) \le 0,01.

Passo 2

Vamos primeiro verificar se a formulação dada é consistente (isso é importante antes de começar a iterar).
Calculemos os valores em [0,1] para a função tal como escrita:
f(x)=x^{3}+\cos x.
Avaliações:
f(0)=0^{3}+\cos 0 = 1,
f(1)=1^{3}+\cos 1 = 1+\cos 1 \approx 1+0{,}5403023\approx 1{,}5403023.
Observação: tanto f(0) quanto f(1) são positivos (não há troca de sinal no intervalo). Para aplicar o método da Posição Falsa é necessário começar com extremos a,b tais que f(a)\cdot f(b)<0 (ou seja, sinais opostos). Portanto, com a função escrita como x^3+\cos x e os pontos dados, a Posição Falsa não pode ser aplicada porque não há mudança de sinal em [0,1].
Além disso, para o método de Newton precisamos da derivada:
f'(x)=3x^{2}-\sin x.
Em x_0=0 temos
f'(0)=3\cdot 0^{2}-\sin 0 = 0.
No método de Newton a iteração é
x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f'(x_n)}.
Se f'(x_0)=0 temos divisão por zero e o método não avança. Logo, com a função escrita e o x_0 dado, o método de Newton também não é possível de iniciar.
Conclusão desta verificação: como o enunciado foi passado, há dois problemas práticos — Posição Falsa não tem mudança de sinal e Newton dá divisão por zero em x_0=0. Provavelmente houve um pequeno erro de sinal no enunciado: é comum a função de exercícios ser
\tilde f(x)=x^{3}-\cos x,
que tem sinal trocado em x=0 e permite aplicar posição falsa em [0,1]. Vou assumir que o enunciado pretendia f(x)=x^{3}-\cos x (essa é a única alteração mínima que torna o problema aplicável com os dados), e continuar a resolução com essa função corrigida. Aviso: mantenho a informação de que, com f(x)=x^{3}+\cos x, ambos os métodos falham nos pontos iniciais dados.

Passo 3

Definimos, para prosseguir, a função (assumida corrigida)
f(x)=x^{3}-\cos x.
Derivada:
f'(x)=3x^{2}+\sin x.
Avaliações iniciais:
f(0)=0^{3}-\cos 0 = -1,
f(1)=1^{3}-\cos 1 = 1-\cos 1 \approx 1-0{,}5403023 \approx 0{,}4596977.
Agora há mudança de sinal em [0,1], portanto a Posição Falsa pode ser aplicada com a=0, b=1. Para Newton, com x_0=0 temos
f'(0)=3\cdot 0^{2}+\sin 0 = 0,
novamente divisão por zero: o método de Newton não pode ser iniciado em x_0=0 (mesmo na versão corrigida da função). Por isso, apresentarei:
  • a iteração completa da Posição Falsa usando x_0=0 e x_1=1 até |x_{n+1}-x_n|\le 0,01;
  • uma observação sobre Newton: com x_0=0 não é aplicável; mostrarei depois como proceder se aceitarmos trocar a semente inicial (por exemplo x_0=1) para obter uma aproximação pelo método de Newton.
Se aceitaram a troca de x_0 em Newton (expliquei o motivo), usarei x_0=1 porque é um palpite natural e já está dentro do intervalo. Antes, vamos fazer a Posição Falsa corretamente.

Passo 4

Relembrando a fórmula da Posição Falsa: dados a e b com f(a)\cdot f(b)<0, o ponto de interseção da secante com o eixo x é
c = b - f(b)\,\frac{b-a}{f(b)-f(a)}.
Esse c é uma aproximação do zero; substituímos um dos extremos pelo c dependendo do sinal de f\text{(c)} para manter o bracketing.
Dados iniciais: a_0=0, b_0=1.
Valores já calculados:
f(a_0)=f(0)=-1,\qquad f(b_0)=f(1)\approx 0{,}4596977.
Iteração 1:
c_1 = 1 - 0{,}4596977\cdot\frac{1-0}{0{,}4596977 - (-1)} = 1 - \frac{0{,}4596977}{1{,}4596977}.
Calculemos a razão:
\frac{0{,}4596977}{1{,}4596977}\approx 0{,}3150\quad(\text{aprox. suficiente para a tolerância pedida}),â
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c_1 \approx 1-0{,}3150 = 0{,}6850.
Avaliação:
f(0{,}6850) \approx (0{,}6850)^{3}-\cos(0{,}6850).
Cálculos aproximados:
(0{,}6850)^{3}\approx 0{,}3215,\qquad \cos(0{,}6850)\approx 0{,}7740,
portanto
f(0{,}6850)\approx 0{,}3215-0{,}7740=-0{,}4525 <0.
Como o sinal em c_1 é negativo e f(b_0)>0, substituímos a_1=c_1 e mantemos b_1=b_0. Novo intervalo: [a_1,b_1]=[0{,}6850,\,1].
Iteração 2:
c_2 = 1 - f(1)\cdot\frac{1-0{,}6850}{f(1)-f(0{,}6850)}.
Substituindo valores aproximados:
b-a=0{,}3150,\quad f(1)\approx 0{,}4596977,\quad f(0{,}6850)\approx -0{,}4525,
denominador f(1)-f(a_1)\approx 0{,}4596977-(-0{,}4525)=0{,}9122. Então
c_2 \approx 1 - \frac{0{,}4596977\cdot 0{,}3150}{0{,}9122} \approx 1 - \frac{0{,}1448}{0{,}9122}\approx 1 - 0{,}1588 = 0{,}8412.
Avaliação:
(0{,}8412)^{3}\approx 0{,}5956,\qquad \cos(0{,}8412)\approx 0{,}6668,
f(0{,}8412)\approx 0{,}5956-0{,}6668 = -0{,}0712 <0.
Novamente negativo, então substituímos a_2=c_2=0{,}8412, intervalo [0{,}8412,1].
Iteração 3:
c_3 = 1 - \frac{f(1)\cdot(1-0{,}8412)}{f(1)-f(0{,}8412)}.
Aqui b-a\approx 0{,}1588,\\ f(1)\approx0{,}4596977,\\ f(0{,}8412)\approx -0{,}0712, então denominador \approx 0{,}5309. Assim
c_3 \approx 1 - \frac{0{,}4596977\cdot 0{,}1588}{0{,}5309} \approx 1 - \frac{0{,}07298}{0{,}5309} \approx 1 - 0{,}1375 = 0{,}8625.
Avaliação:
(0{,}8625)^{3}\approx 0{,}6416,\qquad \cos(0{,}8625)\approx 0{,}6527,
f(0{,}8625)\approx 0{,}6416-0{,}6527 = -0{,}0111 <0.
Ainda negativo, atualizamos a_3=0{,}8625, intervalo [0{,}8625,\,1].
Iteração 4:
c_4 = 1 - \frac{f(1)\cdot(1-0{,}8625)}{f(1)-f(0{,}8625)}.
Aqui b-a\approx 0{,}1375,\\ f(0{,}8625)\approx -0{,}0111, denominador \approx 0{,}4708. Então
c_4 \approx 1 - \frac{0{,}4596977\cdot 0{,}1375}{0{,}4708} \approx 1 - \frac{0{,}0632}{0{,}4708} \approx 1 - 0{,}1342 = 0{,}8658.
Avaliação aproximada:
(0{,}8658)^{3}\approx 0{,}6486,\qquad \cos(0{,}8658)\approx 0{,}6479,
f(0{,}8658)\approx 0{,}6486-0{,}6479 = 0{,}0007 >0.
Agora f(c_4)>0, portanto substituímos b_4=c_4. O novo par é [a_4,b_4]=[0{,}8625,\,0{,}8658].
Verificação do critério de parada: usamos como critério |c_4-c_3|.
|c_4-c_3|\approx |0{,}8658-0{,}8625| = 0{,}0033 \le 0{,}01.
Portanto a Posição Falsa já nos deu uma aproximação com diferença sucessiva menor que 0{,}01. Tomamos como aproximação (média dos últimos extremos ou o último c) um valor prático
x_{\text{PF}}\approx 0{,}8658\quad(\text{aprox. com erro} \le 0{,}01).

Passo 5

Relembrando, para a função assumida f(x)=x^{3}-\cos x a derivada é f'(x)=3x^{2}+\sin x. Em x_0=0 temos f'(0)=0, assim a fórmula de Newton
x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f'(x_n)}
não é aplicável em x_0=0 por divisão por zero. Portanto, estritamente falando, não é possível iniciar o método com o x_0 indicado.
Na prática (e para te mostrar como o Newton se comportaria se pudéssemos começar em um ponto com derivada não nula), é comum mudar levemente a semente inicial. Uma escolha simples e natural é tomar x_0=1 (já fornecido como extremo do intervalo). Vou mostrar rapidamente as iterações de Newton começando em x_0=1 — isto é uma alteração do enunciado original justificada porque o enunciado original com x_0=0 torna o método impossível.
Aplicando Newton com x_0=1:
Avaliações iniciais:
f(1)\approx 0{,}4596977,\qquad f'(1)=3\cdot 1^{2}+\sin 1 \approx 3 + 0{,}841471 = 3{,}841471.
Iteração 1 (Newton):
x_1 = 1 - \frac{0{,}4596977}{3{,}841471} \approx 1 - 0{,}1196 = 0{,}8804.
Iteração 2:
Calcule f(0{,}8804) e f'(0{,}8804):
(0{,}8804)^3\approx 0{,}6818,\quad \cos(0{,}8804)\approx 0{,}6357 \Rightarrow f(0{,}8804)\approx 0{,}0461.
f'(0{,}8804)=3(0{,}8804)^2+\sin(0{,}8804)\approx 3\cdot 0{,}7751 + 0{,}7710 \approx 3{,}0963.
x_2 = 0{,}8804 - \frac{0{,}0461}{3{,}0963} \approx 0{,}8804 - 0{,}0149 = 0{,}8655.
Verificação do critério: |x_2-x_1|\approx 0{,}0149 > 0{,}01, então uma iteração adicional:
Iteração 3:
Calcule f(0{,}8655):
(0{,}8655)^3\approx 0{,}6481,\quad \cos(0{,}8655)\approx 0{,}6481 \Rightarrow f(0{,}8655)\approx -8\times 10^{-5}\\ (\text{próximo de }0).ó
f'(0{,}8655)\approx 3(0{,}8655)^2+\sin(0{,}8655)\approx 3{,}0058.
x_3 = 0{,}8655 - \frac{-8\times 10^{-5}}{3{,}0058}\approx 0{,}8655 + 0{,}00003 \approx 0{,}8655.
Agora |x_3-x_2|\approx 0{,}00003 \le 0{,}01, então Newton convergiu rapidamente (com x_0=1) para
x_{\text{Newton}}\approx 0{,}8655.
Importante: reitero que isto só é válido porque trocamos a semente x_0 de 0 para 1. Com x_0=0 o método não é aplicável.

Passo 6

  • Posição Falsa (com a_0=0,\\ b_0=1, função assumida x^3-\cos x): convergiu em 4 iterações à aproximação x\approx 0{,}8658 com diferença sucessiva menor que 0{,}01.
  • Newton: com o x_0 dado originalmente ( x_0=0) não é aplicável porque f'(0)=0. Se aceitarmos usar x_0=1 (ajuste prático), Newton converge em 2–3 iterações para x\approx 0{,}8655, com |x_{n+1}-x_n|\le 0{,}01.
Esses dois resultados são coerentes (ambas as aproximações são muito próximas, dentro da tolerância pedida).

Resposta

Newton: não é possível aplicar com x_0=0 porque f'(0)=0. (Se aceitarmos x_0=1 como semente alternativa, Newton dá x\approx 0{,}8655.)\n
Posição Falsa: x\approx 0{,}8658.

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