Encontre o zero das seguintes funções, pelo método de Newton e o método da Posição Falsa com
.
no intervalo
com:
para Newton;
e
para Posição Falsa.
Passo 1
O enunciado pede encontrar o zero da função
no intervalo
usando dois métodos numéricos com tolerância
. Os dados fornecidos são:
intervalo
, e iniciais:
As perguntas explícitas são: aplicar o método de Newton (com
dado) e aplicar o método da Posição Falsa (com
dados), e obter uma aproximação do zero com erro (critério)
.
Passo 2
Vamos primeiro verificar se a formulação dada é consistente (isso é importante antes de começar a iterar).
Calculemos os valores em
para a função tal como escrita:
Avaliações:
Observação: tanto
quanto
são positivos (não há troca de sinal no intervalo). Para aplicar o método da Posição Falsa é necessário começar com extremos
tais que
(ou seja, sinais opostos). Portanto, com a função escrita como
e os pontos dados, a Posição Falsa não pode ser aplicada porque não há mudança de sinal em
.
Além disso, para o método de Newton precisamos da derivada:
Em
temos
No método de Newton a iteração é
Se
temos divisão por zero e o método não avança. Logo, com a função escrita e o
dado, o método de Newton também não é possível de iniciar.
Conclusão desta verificação: como o enunciado foi passado, há dois problemas práticos — Posição Falsa não tem mudança de sinal e Newton dá divisão por zero em
. Provavelmente houve um pequeno erro de sinal no enunciado: é comum a função de exercícios ser
que tem sinal trocado em
e permite aplicar posição falsa em
. Vou assumir que o enunciado pretendia
(essa é a única alteração mínima que torna o problema aplicável com os dados), e continuar a resolução com essa função corrigida. Aviso: mantenho a informação de que, com
, ambos os métodos falham nos pontos iniciais dados.
Passo 3
Definimos, para prosseguir, a função (assumida corrigida)
Derivada:
Avaliações iniciais:
Agora há mudança de sinal em
, portanto a Posição Falsa pode ser aplicada com
,
. Para Newton, com
temos
novamente divisão por zero: o método de Newton não pode ser iniciado em
(mesmo na versão corrigida da função). Por isso, apresentarei:
- a iteração completa da Posição Falsa usando
e até ; - uma observação sobre Newton: com
não é aplicável; mostrarei depois como proceder se aceitarmos trocar a semente inicial (por exemplo ) para obter uma aproximação pelo método de Newton.
Se aceitaram a troca de
em Newton (expliquei o motivo), usarei
porque é um palpite natural e já está dentro do intervalo. Antes, vamos fazer a Posição Falsa corretamente.
Passo 4
Relembrando a fórmula da Posição Falsa: dados
e
com
, o ponto de interseção da secante com o eixo
é
Esse
é uma aproximação do zero; substituímos um dos extremos pelo
dependendo do sinal de
para manter o bracketing.
Dados iniciais:
,
.
Valores já calculados:
Valores já calculados:
Iteração 1:
Calculemos a razão:
logo
Avaliação:
Cálculos aproximados:
portanto
Como o sinal em
é negativo e
, substituímos
e mantemos
. Novo intervalo:
.
Iteração 2:
Substituindo valores aproximados:
denominador
. Então
Avaliação:
Novamente negativo, então substituímos
, intervalo
.
Iteração 3:
Aqui
, então denominador
. Assim
Avaliação:
Ainda negativo, atualizamos
, intervalo
.
Iteração 4:
Aqui
, denominador
. Então
Avaliação aproximada:
Agora
, portanto substituímos
. O novo par é
.
Verificação do critério de parada: usamos como critério
.
Portanto a Posição Falsa já nos deu uma aproximação com diferença sucessiva menor que
. Tomamos como aproximação (média dos últimos extremos ou o último
) um valor prático
Passo 5
Relembrando, para a função assumida
a derivada é
. Em
temos
, assim a fórmula de Newton
não é aplicável em
por divisão por zero. Portanto, estritamente falando, não é possível iniciar o método com o
indicado.
Na prática (e para te mostrar como o Newton se comportaria se pudéssemos começar em um ponto com derivada não nula), é comum mudar levemente a semente inicial. Uma escolha simples e natural é tomar
(já fornecido como extremo do intervalo). Vou mostrar rapidamente as iterações de Newton começando em
— isto é uma alteração do enunciado original justificada porque o enunciado original com
torna o método impossível.
Aplicando Newton com
:
Avaliações iniciais:
Iteração 1 (Newton):
Iteração 2:
Calcule e
:
Calcule
Verificação do critério:
, então uma iteração adicional:
Iteração 3:
Calcule :
Calcule
Agora
, então Newton convergiu rapidamente (com
) para
Importante: reitero que isto só é válido porque trocamos a semente
de
para
. Com
o método não é aplicável.
Passo 6
- Posição Falsa (com
, função assumida ): convergiu em 4 iterações à aproximação com diferença sucessiva menor que . - Newton: com o
dado originalmente ( ) não é aplicável porque . Se aceitarmos usar (ajuste prático), Newton converge em 2–3 iterações para , com .
Esses dois resultados são coerentes (ambas as aproximações são muito próximas, dentro da tolerância pedida).
Resposta
Newton: não é possível aplicar com
porque
. (Se aceitarmos
como semente alternativa, Newton dá
.)\n
Posição Falsa: .
Posição Falsa: