Encontre o zero das seguintes funções, pelo método de Newton e o método da Posição Falsa com
.
, no intervalo
, com:
para Newton;
e
para Posição Falsa.
Passo 1
O enunciado pede encontrar uma raiz (zero) da função
no intervalo
por dois métodos numéricos: o método de Newton com
e o método da Posição Falsa (regula falsi) com
e
. A precisão exigida é
.\n
Informações dadas:
Informações dadas:
Intervalo considerado:
.\n
Condições iniciais:
Condições iniciais:
Parâmetro de parada:
(vou usar como critério de parada a condição
, que é uma escolha prática e comum; também poderia usar
, mas aqui adoto a diferença entre iterações).
Passo 2
Explicação didática do método de Newton (sem pular etapas):
O método de Newton aproxima a raiz usando a formulação da reta tangente. A iteração é
O método de Newton aproxima a raiz usando a formulação da reta tangente. A iteração é
Aqui
é a derivada de
. Para nossa função,
Interpretação das variáveis:
-
é a aproximação atual da raiz; -
é a nova aproximação obtida pela correção .\n
Vamos aplicar a fórmula iterativamente a partir deaté que . Em cada iteração eu calculo , , a correção e . Vou mostrar as contas com aproximações decimais suficientes para manter erros pequenos em relação a .
Passo 3
Newton — iterações detalhadas:
Iteração 0 para 1:
Diferença:
. Continuamos.
Passo 4
Iteração 1 para 2:
Calculei (com multiplicações detalhadas)
Diferença:
. Continuamos.
Passo 5
Iteração 2 para 3:
Cálculos aproximados (mantendo precisão suficiente):
Diferença:
. Ainda não basta.
Passo 6
Iteração 3 para 4:
Cálculos aproximados:
Diferença:
. Critério de parada satisfeito.\n
Portanto, pelo método de Newton, a raiz aproximada (com o critério adotado) é
Portanto, pelo método de Newton, a raiz aproximada (com o critério adotado) é
Passo 7
Explicação didática do método da Posição Falsa (regula falsi):
Esse método é um método de bissecção melhorado que usa a reta que liga os pontos e
para achar uma nova aproximação do zero. A fórmula da aproximação
é
Esse método é um método de bissecção melhorado que usa a reta que liga os pontos
Aqui
e
são extremidades de um intervalo com
e
de sinais opostos (garantindo existência de raiz por Bolzano). Depois de obter
avalia-se
:
- se
tem mesmo sinal que , substitui-se ; - se tem mesmo sinal que
, substitui-se .
Repetimos até(critério que adotei aqui).
Passo 8
Posição Falsa — iterações detalhadas (iniciando com
,
):
Primeiro, valores iniciais:
Temos
, bom.
Passo 9
Iteração 0:
Formula:
Avaliação:
Como
tem mesmo sinal que
(ambos negativos), atualizamos
,
.
Passo 10
Iteração 1:
Avaliação (aprox):
Atualizamos
,
.
Passo 11
Iteração 2:
Avaliação:
Atualizamos
,
.
Passo 12
Iteração 3:
Avaliação:
Atualizamos
,
.
Passo 13
Iteração 4:
Avaliação:
Atualizamos
,
.
Passo 14
Iteração 5:
Avaliação:
Atualizamos
,
.
Diferença entre sucessivos :
(ainda ligeiramente maior que
).
Diferença entre sucessivos
Passo 15
Iteração 6:
Avaliação:
Diferença:
Critério satisfeito.\n
Portanto, pela Posição Falsa, a raiz aproximada (pelo critério adotado) é
Portanto, pela Posição Falsa, a raiz aproximada (pelo critério adotado) é
Resposta
Newton:
\n
Posição Falsa:
Posição Falsa: