Encontre o zero das seguintes funções, pelo método de Newton e o método da Posição Falsa com \varepsilon \leq 0.01.
f(x)=x^{3}-2 x^{2}-5=0, no intervalo [1,4], com: x_{0}=4 para Newton; x_{0}=2 e x_{1}=4 para Posição Falsa.

Passo 1

O enunciado pede encontrar uma raiz (zero) da função f(x)=x^{3}-2x^{2}-5 no intervalo [1,4] por dois métodos numéricos: o método de Newton com x_{0}=4 e o método da Posição Falsa (regula falsi) com x_{0}=2 e x_{1}=4. A precisão exigida é \varepsilon \le 0,01.\n
Informações dadas:
f(x)=x^{3}-2x^{2}-5
Intervalo considerado: [1,4].\n
Condições iniciais:
\text{Newton: } x_{0}=4.
\text{Posição Falsa: } a_{0}=2,\; b_{0}=4.çã
Parâmetro de parada: \varepsilon = 0,01 (vou usar como critério de parada a condição |x_{n+1}-x_{n}|\le 0,01, que é uma escolha prática e comum; também poderia usar |f(x_{n})|\le 0,01, mas aqui adoto a diferença entre iterações).

Passo 2

Explicação didática do método de Newton (sem pular etapas):
O método de Newton aproxima a raiz usando a formulação da reta tangente. A iteração é
x_{n+1}=x_{n}-\frac{f(x_{n})}{f'(x_{n})}.
Aqui f'(x) é a derivada de f. Para nossa função,
f'(x)=3x^{2}-4x.
Interpretação das variáveis:
  • x_{n} é a aproximação atual da raiz;
  • x_{n+1} é a nova aproximação obtida pela correção -f(x_{n})/f'(x_{n}).\n
    Vamos aplicar a fórmula iterativamente a partir de x_{0}=4 até que |x_{n+1}-x_{n}|\le 0,01. Em cada iteração eu calculo f(x_{n}), f'(x_{n}), a correção \Delta x = f(x_{n})/f'(x_{n}) e x_{n+1}=x_{n}-\Delta x. Vou mostrar as contas com aproximações decimais suficientes para manter erros pequenos em relação a \varepsilon.

Passo 3

Newton — iterações detalhadas:
Iteração 0 para 1:
x_{0}=4,\qquad f(4)=4^{3}-2\cdot4^{2}-5=64-32-5=27,
f'(4)=3\cdot4^{2}-4\cdot4=48-16=32,
\Delta x=\frac{f(4)}{f'(4)}=\frac{27}{32}=0,84375,
x_{1}=4-0,84375=3,15625.
Diferença: |x_{1}-x_{0}|=0,84375>0,01. Continuamos.

Passo 4

Iteração 1 para 2:
x_{1}=3,15625.
Calculei (com multiplicações detalhadas)
x_{1}^{2}=9,9616015625,\qquad x_{1}^{3}=31,441304931640625,
f(x_{1})=x_{1}^{3}-2x_{1}^{2}-5=31,441304931640625-2\cdot9,9616015625-5 =6,518101806640625,
f'(x_{1})=3x_{1}^{2}-4x_{1}=29,8848046875-12,625=17,2598046875,
\Delta x=\frac{f(x_{1})}{f'(x_{1})}\approx\frac{6,5181018066}{17,2598046875}\approx0,377775,
x_{2}=3,15625-0,377775\approx2,778475.
Diferença: |x_{2}-x_{1}|\approx0,377775>0,01. Continuamos.

Passo 5

Iteração 2 para 3:
x_{2}\approx2,778475.
Cálculos aproximados (mantendo precisão suficiente):
x_{2}^{2}\approx7,7199255,\qquad x_{2}^{3}\approx21,449625,
f(x_{2})\approx21,449625-2\cdot7,7199255-5\approx1,00975,
f'(x_{2})\approx3\cdot7,7199255-4\cdot2,778475\approx12,0459,
\Delta x\approx\frac{1,00975}{12,0459}\approx0,08378,
x_{3}\approx2,778475-0,08378\approx2,694695.
Diferença: |x_{3}-x_{2}|\approx0,08378>0,01. Ainda não basta.

Passo 6

Iteração 3 para 4:
x_{3}\approx2,694695.
Cálculos aproximados:
x_{3}^{2}\approx7,2614,\qquad x_{3}^{3}\approx19,5668,
f(x_{3})\approx19,5668-2\cdot7,2614-5\approx0,0440,
f'(x_{3})\approx3\cdot7,2614-4\cdot2,694695\approx11,0054,
\Delta x\approx\frac{0,0440}{11,0054}\approx0,0040,
x_{4}\approx2,694695-0,0040\approx2,690695.
Diferença: |x_{4}-x_{3}|\approx0,0040\le 0,01. Critério de parada satisfeito.\n
Portanto, pelo método de Newton, a raiz aproximada (com o critério adotado) é
x\approx2,6907.

Passo 7

Explicação didática do método da Posição Falsa (regula falsi):
Esse método é um método de bissecção melhorado que usa a reta que liga os pontos (a,f(a)) e (b,f(b)) para achar uma nova aproximação do zero. A fórmula da aproximação r é
r=a-\frac{f(a)(b-a)}{f(b)-f(a)}.
Aqui a e b são extremidades de um intervalo com f(a) e f(b) de sinais opostos (garantindo existência de raiz por Bolzano). Depois de obter r avalia-se f(r):
  • se f(r) tem mesmo sinal que f(a), substitui-se a\leftarrow r;
  • se tem mesmo sinal que f(b), substitui-se b\leftarrow r.
    Repetimos até |r_{\text{new}}-r_{\text{old}}|\le 0,01 (critério que adotei aqui).

Passo 8

Posição Falsa — iterações detalhadas (iniciando com a_{0}=2, b_{0}=4):
Primeiro, valores iniciais:
f(2)=2^{3}-2\cdot2^{2}-5=8-8-5=-5,
f(4)=27\quad(\text{como já calculado}).á
Temos f(2)\cdot f(4) <0, bom.

Passo 9

Iteração 0:
a_{0}=2,\; b_{0}=4,\; f(a_{0})=-5,\; f(b_{0})=27.
Formula:
r_{1}=a_{0}-\frac{f(a_{0})(b_{0}-a_{0})}{f(b_{0})-f(a_{0})} =2-\frac{(-5)\cdot(4-2)}{27-(-5)}=2+\frac{10}{32}=2,3125.
Avaliação:
f(2,3125)\approx -3,328857421875\quad(\text{valor negativo}).
Como f(r_{1}) tem mesmo sinal que f(a_{0}) (ambos negativos), atualizamos a_{1}=r_{1}, b_{1}=b_{0}.

Passo 10

Iteração 1:
a_{1}=2,3125,\; b_{1}=4,\; f(a_{1})\approx-3,3288574,\; f(b_{1})=27.
r_{2}=a_{1}-\frac{f(a_{1})(b_{1}-a_{1})}{f(b_{1})-f(a_{1})} \approx2,3125+\frac{3,3288574\cdot(1,6875)}{27+3,3288574}\approx2,4978.
Avaliação (aprox):
f(2,4978)\approx-1,8895\\ (\text{negativo}).
Atualizamos a_{2}=2,4978, b_{2}=4.

Passo 11

Iteração 2:
a_{2}\approx2,4978,\; f(a_{2})\approx-1,8895,\; b_{2}=4.
r_{3}\approx a_{2}+\frac{1,8895\cdot(1,5022)}{27+1,8895}\approx2,5960.
Avaliação:
f(2,5960)\approx-0,984\\ (\text{negativo}).
Atualizamos a_{3}=2,5960, b_{3}=4.

Passo 12

Iteração 3:
a_{3}\approx2,5960,\; f(a_{3})\approx-0,984,\; b_{3}=4.
r_{4}\approx a_{3}+\frac{0,984\cdot(1,404)}{27+0,984}\approx2,6454.
Avaliação:
f(2,6454)\approx-0,483\\ (\text{negativo}).
Atualizamos a_{4}=2,6454, b_{4}=4.

Passo 13

Iteração 4:
a_{4}\approx2,6454,\; f(a_{4})\approx-0,483,\; b_{4}=4.
r_{5}\approx a_{4}+\frac{0,483\cdot(1,3546)}{27+0,483}\approx2,6692.
Avaliação:
f(2,6692)\approx-0,224\\ (\text{negativo}).
Atualizamos a_{5}=2,6692, b_{5}=4.

Passo 14

Iteração 5:
a_{5}\approx2,6692,\; f(a_{5})\approx-0,224,\; b_{5}=4.
r_{6}\approx a_{5}+\frac{0,224\cdot(1,3308)}{27+0,224}\approx2,6802.
Avaliação:
f(2,6802)\approx-0,094\\ (\text{negativo}).
Atualizamos a_{6}=2,6802, b_{6}=4.
Diferença entre sucessivos r: |r_{6}-r_{5}|\approx|2,6802-2,6692|\approx0,0110 (ainda ligeiramente maior que 0,01).

Passo 15

Iteração 6:
a_{6}\approx2,6802,\; f(a_{6})\approx-0,094,\; b_{6}=4.
r_{7}\approx a_{6}+\frac{0,094\cdot(1,3198)}{27+0,094}\approx2,6847.
Avaliação:
f(2,6847)\approx -0,040\\ (\text{aprox. negativo}).
Diferença: |r_{7}-r_{6}|\approx|2,6847-2,6802|\approx0,0045\le 0,01. Critério satisfeito.\n
Portanto, pela Posição Falsa, a raiz aproximada (pelo critério adotado) é
x\approx2,6847.

Resposta

Newton: 2,6907\n
Posição Falsa: 2,6847

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