Encontres a funcáo inversa
p(x)=e^{-\frac{x}{2}}

Passo 1

O enunciado dá a função
p(x)=e^{-\frac{x}{2}}.
O que se pede: encontrar a função inversa p^{-1}. Informações relevantes fornecidas:
  • A função original está definida para todo x\in\mathbb{R} (domínio de p é (-\infty,\infty)).
  • Os valores de p são sempre positivos, ou seja, a imagem (contradomínio efetivo) de p é (0,\infty).
  • A inversa, se existir, será uma função que recebe entradas em (0,\infty) e retorna valores em (-\infty,\infty).

Passo 2

Como achamos a inversa: primeiro escrevemos a igualdade y=p(x) e então resolvemos essa equação para x em função de y. Depois trocamos x e y para escrever a inversa como uma função de x.
Antes de aplicar operações, um mini-aula sobre logaritmo natural:
  • A função exponencial e^u (com base e) é bijetora de \mathbb{R} para (0,\infty).
  • O logaritmo natural \ln é a função inversa da exponencial: para todo u\in\mathbb{R} vale \ln(e^{u})=u.
  • O domínio de \ln é (0,\infty); só podemos aplicar \ln a números positivos.
    Essas propriedades são justamente as que permitem “desfazer” um e^{(\cdot)}.

Passo 3

Colocando y=p(x) e resolvendo para x:
y = e^{-\frac{x}{2}}.
Aplicamos \ln em ambos os lados (válido porque y>0):
\ln(y)=\ln\!\left(e^{-\frac{x}{2}}\right).
Usando \ln(e^{u})=u obtemos
\ln(y)=-\frac{x}{2}.
Isolando x, multiplicamos ambos os lados por -2:
x=-2\ln(y).
Agora trocamos os nomes das variáveis ( y vira x) para escrever a função inversa:
p^{-1}(x)=-2\ln(x),
com domínio (0,\infty) (pois \ln(x) exige x>0).

Passo 4

Verificação por composição (para ficar seguro que está correto).
  1. Composição p\big(p^{-1}(x)\big) para x>0:
p\big(p^{-1}(x)\big)=e^{-\frac{1}{2}\,p^{-1}(x)}=e^{-\frac{1}{2}\left(-2\ln(x)\right)}=e^{\ln(x)}=x.
  1. Composição p^{-1}\big(p(x)\big) para todo x\in\mathbb{R}:
p^{-1}\big(p(x)\big)=-2\ln\!\left(e^{-\frac{x}{2}}\right)=-2\left(-\frac{x}{2}\right)=x.
As duas composições retornam x (no domínio apropriado), confirmando que a função encontrada é de fato a inversa.

Passo 5

Exemplo numérico rápido para fixar: se x=0 então
p(0)=e^{0}=1,
e
p^{-1}(1)=-2\ln(1)=-2\cdot 0=0,
ou seja, volta ao ponto inicial — perfeito.
Força aí — você já tem a receita para inverter exponenciais: isolar o exponencial, aplicar \ln, e resolver. Foi só seguir os passos devagarinho.

Resposta

p^{-1}(x)=-2\ln(x),\\ \text{domínio }(0,\infty)í

Exercícios relacionados