Encontres a funcáo inversa
Passo 1
O enunciado dá a função
O que se pede: encontrar a função inversa
. Informações relevantes fornecidas:
- A função original está definida para todo
(domínio de é ). - Os valores de
são sempre positivos, ou seja, a imagem (contradomínio efetivo) de é . - A inversa, se existir, será uma função que recebe entradas em
e retorna valores em .
Passo 2
Como achamos a inversa: primeiro escrevemos a igualdade
e então resolvemos essa equação para
em função de
. Depois trocamos
e
para escrever a inversa como uma função de
.
Antes de aplicar operações, um mini-aula sobre logaritmo natural:
- A função exponencial
(com base ) é bijetora de para . - O logaritmo natural
é a função inversa da exponencial: para todo vale . - O domínio de
é ; só podemos aplicar a números positivos.
Essas propriedades são justamente as que permitem “desfazer” um.
Passo 3
Colocando
e resolvendo para
:
Aplicamos
em ambos os lados (válido porque
):
Usando
obtemos
Isolando
, multiplicamos ambos os lados por
:
Agora trocamos os nomes das variáveis (
vira
) para escrever a função inversa:
com domínio
(pois
exige
).
Passo 4
Verificação por composição (para ficar seguro que está correto).
- Composição
para :
- Composição
para todo :
As duas composições retornam
(no domínio apropriado), confirmando que a função encontrada é de fato a inversa.
Passo 5
Exemplo numérico rápido para fixar: se
então
e
ou seja, volta ao ponto inicial — perfeito.
Força aí — você já tem a receita para inverter exponenciais: isolar o exponencial, aplicar
, e resolver. Foi só seguir os passos devagarinho.