Questão 3) Utilizando a Transformada de Laplace, resolver os seguintes PVI’s:
\left\{\begin{array}{c}y^{(i v)}-4 y=0 \\\ y(0)=1 \\\ y^{\prime}(0)=0 \\\ y^{\prime \prime}(0)=-2 \\\ y^{\prime \prime \prime}(0)=0\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial com condições iniciais abaixo usando Transformada de Laplace. Vou listar exactamente o que foi dado:
\left\{\begin{array}{l} y^{(iv)}(t)-4y(t)=0,\\[4pt] y(0)=1,\\[4pt] y'(0)=0,\\[4pt] y''(0)=-2,\\[4pt] y^{(3)}(0)=0. \end{array}\right.
O objetivo é obter a função y(t) que satisfaz a equação e essas condições iniciais.]

Passo 2

Vou aplicar a Transformada de Laplace à equação. Primeiro lembro a definição e a fórmula para a transformada de derivadas.
  • Definição: para uma função f(t) definimos a Transformada de Laplace por
\mathcal{L}\{f(t)\}(s)=\int_{0}^{\infty}e^{-st}f(t)\,dt,
onde s é a variável complexa da transformada.
  • Fórmula para derivadas (caso geral): se F(s)=\mathcal{L}\{y(t)\}(s) então
\mathcal{L}\{y^{(4)}(t)\}(s)=s^{4}F(s)-s^{3}y(0)-s^{2}y'(0)-s\,y''(0)-y^{(3)}(0).
Aqui F(s) é a transformada de y(t) e y(0),y'(0),\dots são as condições iniciais (cada termo aparece porque integra-se por partes repetidas).

Passo 3

Agora aplico a transformada à equação \,y^{(iv)}(t)-4y(t)=0.
Usando a fórmula acima e escrevendo Y(s)=\mathcal{L}\{y(t)\}(s), obtemos
\mathcal{L}\{y^{(iv)}\}(s)-4\mathcal{L}\{y\}(s)=0
\Rightarrow \; \bigl(s^{4}Y(s)-s^{3}y(0)-s^{2}y'(0)-s\,y''(0)-y^{(3)}(0)\bigr)-4Y(s)=0.
Substituo as condições iniciais y(0)=1,\;y'(0)=0,\;y''(0)=-2,\;y^{(3)}(0)=0:
s^{4}Y(s)-s^{3}-s^{2}\cdot 0 - s\cdot(-2)-0 -4Y(s)=0.
Simplificando os termos:
s^{4}Y(s)-s^{3}+2s-4Y(s)=0.
Agrupando Y(s):
\bigl(s^{4}-4\bigr)Y(s)=s^{3}-2s.
Logo
Y(s)=\frac{s^{3}-2s}{s^{4}-4}.

Passo 4

Simplifico a expressão para Y(s)\) para poder aplicar a transformada inversa. Primeiro fatoro o denominador: \[s^{4}-4=(s^{2}-2)(s^{2}+2).
Vou decompor Y(s) em frações parciais do tipo \dfrac{As+B}{s^{2}-2}+\dfrac{Cs+D}{s^{2}+2}. Assim assumo
\frac{s^{3}-2s}{(s^{2}-2)(s^{2}+2)}=\frac{As+B}{s^{2}-2}+\frac{Cs+D}{s^{2}+2}.
Multiplicando ambos os lados por (s^{2}-2)(s^{2}+2) obtém-se a identidade polinomial
s^{3}-2s=(As+B)(s^{2}+2)+(Cs+D)(s^{2}-2).
Expando os produtos:
s^{3}-2s=(A+C)s^{3}+(B+D)s^{2}+(2A-2C)s+(2B-2D).
Comparando coeficientes com o polinómio do lado esquerdo (que tem coeficiente 1 em s^{3}, 0 em s^{2}, -2 em s e 0 em constante) obtemos o sistema
\begin{cases} A+C=1,\\[4pt] B+D=0,\\[4pt] 2A-2C=-2,\\[4pt] 2B-2D=0. \end{cases}
Dividindo terços por 2\] quando conveniente, das equações em \(A,C temos
A+C=1,\qquad A-C=-1.
Somando: 2A=0\Rightarrow A=0. Então C=1.
Das equações em B,D temos B+D=0 e B-D=0, que dão B=0 e D=0.
Portanto a decomposição é simples:
Y(s)=\frac{0\cdot s+0}{s^{2}-2}+\frac{1\cdot s+0}{s^{2}+2}=\frac{s}{s^{2}+2}.]

Passo 5

Agora aplico a transformada inversa. Lembro a transformada conhecida:
\mathcal{L}\{\cos(at)\}(s)=\frac{s}{s^{2}+a^{2}}\quad (a>0).
No nosso Y(s) temos a^{2}=2, logo a=\sqrt{2}, e
Y(s)=\frac{s}{s^{2}+(\sqrt{2})^{2}}.
Portanto, pela transformada inversa,
y(t)=\cos\bigl(\sqrt{2}\,t\bigr).
Para ficar tranquilo, verifico rapidamente as condições iniciais: y(0)=\cos 0=1; y'(t)=-\sqrt{2}\sin(\sqrt{2}t)\Rightarrow y'(0)=0; y''(t)=-2\cos(\sqrt{2}t)\Rightarrow y''(0)=-2; y^{(3)}(0)=0. Todas batem com as condições dadas.

Resposta

y(t)=\cos\bigl(\sqrt{2}\,t\bigr)

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