Encontres a funcáo inversa
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede. Está dada a função
A pergunta é: encontrar a função inversa
. Ou seja, achar uma função que “desfaça”
: para todo
no domínio apropriado,
e
. Informações úteis que já temos da própria expressão:
- A função exponencial
está definida para todo . Portanto o domínio de é . - O valor de
é sempre positivo, nunca zero nem negativo. Logo a imagem (contradomínio efetivo) de é .
Passo 2
Ideia e ferramenta para inverter. Para inverter uma função explicitamos
em termos de
, trocamos os papéis de
e
e resolvemos para
. Também precisamos conhecer a operação inversa de exponencial: a função logaritmo natural
é a inversa de
. Propriedades importantes do logaritmo natural:
-
é definida para entradas positivas: domínio . -
para todo . -
para todo .
Essas propriedades serão usadas para “desfazer” a exponencial.
Passo 3
Passo a passo algébrico para encontrar a inversa.
- Escreve-se a função com
:
- Troca-se
por e por (isso corresponde a refletir na reta ):
- Aplica-se
em ambos os lados. Como é necessário — isso corresponde ao fato de que a inversa só existirá para entradas positivas — e desfaz a exponencial:
- Usa-se
com :
- Isola-se
:
Passo 4
Conclusão e verificação rápida. A função inversa é
Verificações (úteis na prova para mostrar que está correto):
- Composição direta:
- Composição inversa:
Domain/range consistentes: como esperávamos, o domínio de
é
(porque
exige entrada positiva) e a imagem de
é
.
Passo 5
Exemplo rápido para fixar e um incentivo. Por exemplo, se
então
Você conseguiu! Esse tipo de inversão é sempre o mesmo padrão: escrever
, trocar
e
, aplicar o logaritmo quando aparecer
, e isolar. Repete esse processo em alguns exercícios e fica automático — força aí, vai dar certo!