Encontres a funcáo inversa
h(x)=e^{x-2}

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede. Está dada a função
h(x)=e^{x-2}.
A pergunta é: encontrar a função inversa h^{-1}. Ou seja, achar uma função que “desfaça” h: para todo x no domínio apropriado, h^{-1}\big(h(x)\big)=x e h\big(h^{-1}(x)\big)=x. Informações úteis que já temos da própria expressão:
  • A função exponencial \,e^{x-2}\, está definida para todo x\in\mathbb{R}. Portanto o domínio de h é \mathbb{R}.
  • O valor de \,e^{x-2}\, é sempre positivo, nunca zero nem negativo. Logo a imagem (contradomínio efetivo) de h é (0,\infty).

Passo 2

Ideia e ferramenta para inverter. Para inverter uma função explicitamos y em termos de x, trocamos os papéis de x e y e resolvemos para y. Também precisamos conhecer a operação inversa de exponencial: a função logaritmo natural \ln é a inversa de e^{(\cdot)}. Propriedades importantes do logaritmo natural:
  • \ln é definida para entradas positivas: domínio (0,\infty).
  • \ln\big(e^{u}\big)=u para todo u\in\mathbb{R}.
  • e^{\ln(v)}=v para todo v>0.
    Essas propriedades serão usadas para “desfazer” a exponencial.

Passo 3

Passo a passo algébrico para encontrar a inversa.
  1. Escreve-se a função com y:
y=e^{x-2}.
  1. Troca-se x por y e y por x (isso corresponde a refletir na reta y=x):
x=e^{y-2}.
  1. Aplica-se \ln em ambos os lados. Como x>0 é necessário — isso corresponde ao fato de que a inversa só existirá para entradas positivas — e \ln desfaz a exponencial:
\ln(x)=\ln\big(e^{y-2}\big).
  1. Usa-se \ln\big(e^{u}\big)=u com u=y-2:
\ln(x)=y-2.
  1. Isola-se y:
y=\ln(x)+2.

Passo 4

Conclusão e verificação rápida. A função inversa é
h^{-1}(x)=\ln(x)+2.
Verificações (úteis na prova para mostrar que está correto):
  • Composição direta:
h\big(h^{-1}(x)\big)=e^{\big(\ln(x)+2\big)-2}=e^{\ln(x)}=x,\quad\text{para }x>0.
  • Composição inversa:
h^{-1}\big(h(x)\big)=\ln\big(e^{x-2}\big)+2=(x-2)+2=x,\quad\text{para }x\in\mathbb{R}.
Domain/range consistentes: como esperávamos, o domínio de h^{-1} é (0,\infty) (porque \ln exige entrada positiva) e a imagem de h^{-1} é \mathbb{R}.

Passo 5

Exemplo rápido para fixar e um incentivo. Por exemplo, se x=e então
h^{-1}(e)=\ln(e)+2=1+2=3.
Você conseguiu! Esse tipo de inversão é sempre o mesmo padrão: escrever y, trocar x e y, aplicar o logaritmo quando aparecer e^{(\cdot)}, e isolar. Repete esse processo em alguns exercícios e fica automático — força aí, vai dar certo!

Resposta

h^{-1}(x)=\ln(x)+2

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