Encontro a equação da reta tangente ao gráfico de
y=1raizx
no ponto (4, 1/2).

Passo 1

Resumo do enunciado: temos a função y = 1raizx e o ponto (4,tfrac12). O conteúdo da matéria é derivada de funções e equação da reta tangente. Para resolver, vamos calcular a derivada da função para obter o coeficiente angular e depois usar a fórmula da reta tangente y - y0 = m(x - x0).

Passo 2

Escrevemos a função como potência: y = x^-1/2. Aplicando a regra de potência (x^n)' = n x^n-1, obtemos a derivada:
dydx = -tfrac12,x^-3/2

Passo 3

Avaliaremos a derivada em x = 4 para achar o coeficiente angular m:
m = y'(4) = -tfrac12 cdot 4^-3/2 = -tfrac12 cdot tfrac14^3/2 = -tfrac12 cdot tfrac18 = -tfrac116

Passo 4

Usamos a fórmula da reta tangente no ponto (x0,y0) = (4,tfrac12) com m = -tfrac116:
y - tfrac12 = -tfrac116(x - 4)

Passo 5

Para obter a forma explícita, distribuímos e isolamos y:
y = -tfrac116x + tfrac416 + tfrac12 = -tfrac116x + tfrac14 + tfrac12 = -tfrac116x + tfrac34

Resposta

y = -tfrac116x + tfrac34

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