Use a transformada de Laplace para resolver os PVIs abaixo.
y^prime+y=cosh (2 t), y(0)=3

Passo 1

Temos o PVI de primeira ordem com condição inicial
y’ + y = cosh(2t), y(0)=3
Conteúdo: transformada de Laplace e propriedades para resolver EDO.

Passo 2

Aplicando a transformada de Laplace em ambos os lados. Usamos Ly' = sY(s) - y(0) e Ly=Y(s). Obtemos:
(s+1)Y(s) - 3 = ss^2 - 4

Passo 3

Isolando Y(s) temos
Y(s) = s(s+1)(s^2 - 4) + 3s+1

Passo 4

Para aplicar a transformada inversa, decompondo em frações parciais. Assumimos
s(s+1)(s^2-4) = As+1 + Bs + Cs^2 - 4
Igualando coeficientes dá A=tfrac13, B=-tfrac13, C=tfrac43. Logo
Y(s) = 10/3s+1 + -tfrac13s + tfrac43s^2 - 4

Passo 5

Agora aplicamos a transformada inversa em cada termo:
  • L^-1(10/3)/(s+1) = tfrac103e^-t
  • L^-1-tfrac13s/(s^2-4) = -tfrac13cosh(2t)
  • L^-1(4/3)/(s^2-4) = tfrac23sinh(2t)

Resposta

y(t) = 103e^-t - 13cosh(2t) + 23sinh(2t)

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