Encuentre el trabajo realizado por el campo de fuerzas F(x, y, z)=x y i+y z j+x z k, para mover una partícula a lo largo de la curva C descrita por r(t)=t i+t^2 j+t^3 k entre los puntos (-1,1,-1) y (1,1,1).

Passo 1

Enunciado resumido: queremos calcular el trabajo definido como la integral de línea de un campo vectorial F(x,y,z)=xy,i+yz,j+xz,k sobre la curva parametrizada r(t)=(t,t^2,t^3) entre los puntos (-1,1,-1) y (1,1,1). Vamos a usar integral de línea y producto punto.

Passo 2

Parametrización de la curva: r(t)=(t,t^2,t^3), con t desde -1 hasta 1. Calculamos la derivada:
r'(t)=(1,2t,3t^2)

Passo 3

Sustituimos en el campo: F(x,y,z)=(xy,yz,xz). Sobre la curva:
F(r(t))=(tcdot t^2,;t^2cdot t^3,;tcdot t^3)=(t^3,t^5,t^4)

Passo 4

Producto punto:
F(r(t))cdot r'(t)=t^3cdot1 + t^5cdot(2t) + t^4cdot(3t^2) = t^3 + 2t^6 + 3t^6 = t^3 + 5t^6

Passo 5

Integramos respecto a t de -1 a 1:
integral-1^1l(t^3 + 5t^6r),dt = [t^44 + 5t^77]-1^1

Passo 6

Evaluamos en los límites: en t=1: tfrac14+tfrac57=tfrac2728. en t=-1: tfrac14-tfrac57=-tfrac1328. La diferencia es
tfrac2728-(-tfrac1328)=tfrac4028=tfrac107

Resposta

10/7

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